CHAPTER - 2 એક ચલ સુરેખ સમીકરણ

 સ્વાધ્યાય 2.1 

નીચેનાં સમીકરણ ઉકેલોઃ

(1). x – 2 = 7

ઉત્તરઃ
x – 2 = 7
∴ x = 7 + 2 (∵ -2ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ x = 9

(2). y + 3 = 10

ઉત્તરઃ
y + 3 = 10
∴ y = 10 – 3 (∵ 3ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ y = 7

(3). 6 = z + 2

ઉત્તરઃ
6 = z + 2
∴ z + 2 = 6 (∵ બંને બાજુ બદલતાં)
∴ z = 6 – 2 (∵ 2ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ z = 4

(4).  37 + x = 177

ઉત્તરઃ
37 + x = 177
∴ x = 177−37 (∵ 37ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ x = 17−37
∴ x = 147
∴ x = 7

(5). 6x = 12

ઉત્તરઃ
6x = 12
∴ 6x6=126 (∵ બંને બાજુ 6 વડે ભાગતાં)
∴ x = 2

(6). t5 = 10

ઉત્તરઃ
t5 = 10
∴ t5 × 5 = 10 × 5 (∵ બંને બાજુ 5 વડે ગુણતાં)
∴ t = 50

(7). 2x3 = 18

ઉત્તરઃ
2x3 = 18
∴ 2x3×32=18×32 (∵ બંને બાજુ 32 વડે ગુણતાં)
∴ x = 27

(8). 1.6 = y1.5

ઉત્તરઃ
1.6 = y1.5
∴ 1.6 × 1.5 = y1.5 × 1.5 (∵ બંને બાજુ 1.5 વડે ગુણતાં)
∴ 2.4 = y (∵ 1.6 × 1.5 = 2.40)
∴ y = 2.4

(9).  7x – 9 = 16

ઉત્તરઃ
7x – 9 = 16
∴ 7x = 16 + 9 (∵ -9ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 7x = 25
∴ 7x7=257 (∵ બંને બાજુ 7 વડે ભાગતાં)
∴ x = 257

(10). 14y – 8 = 13

ઉત્તરઃ
14y – 8 = 13
∴ 14y = 13 + 8 (∵ -8ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 14y = 21
∴ 14y14=2114 (∵ બંને બાજુ 14 વડે ભાગતાં)
∴ y = 7×37×2
y = 32

(11). 17 + 6p = 9

ઉત્તરઃ
17 + 6p = 9
∴ 6p = 9 – 17 (∵ 17ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 6p = -8
∴ 6p6=−86 (∵ બંને બાજુ 6 વડે ભાગતાં)
∴ y = −4×23×2
∴ p = –43

(12).   x3 + 1 = 715x3

ઉત્તરઃ
x3 + 1 = 715
∴ x3=715−1 (∵ 1ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ x3=7−1515 (∵ 15 લ.સા.અ. લેતાં)
∴ x3=−815
∴ x3×3=−8×315 (∵ બંને બાજુ 3 વડે ગુણતાં)
∴ x = –85

 સ્વાધ્યાય 2.2 

પ્રશ્ન 1. એક સંખ્યામાંથી 12 બાદ કરીને મળતાં પરિણામને 12 વડે ગુણતાં જો 18 મળે, તો તે સંખ્યા શોધો.

ધારો કે, તે સંખ્યા x છે.
આ સંખ્યામાંથી 12 બાદ કરતાં x – 12 મળે.
આ પરિણામને 12 વડે ગુણતાં 12(x – 12) થાય.
પણ આ પરિણામ 14 છે.
∴ 12 (x – 12) = 18
∴ 12 (x – 12) × 2 = 18 × 2 (∵ બંને બાજુ 2 વડે ગુણતાં)
∴ x – 12 = 14
∴ x = 14 + 12 (∵ –12ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ x = 1+24
∴ x = 34
આમ, તે સંખ્યા 34 છે.

પ્રશ્ન 2. એક લંબચોરસ સ્વિમિંગ પુલની પરિમિતિ 154 મીટર છે. જો તેની લંબાઈ તેની પહોળાઈના બમણાથી બે વધારે હોય, તો સ્વિમિંગ પુલની લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધો.

ધારો કે, લંબચોરસ સ્વિમિંગ પુલની પહોળાઈ x મીટર છે.
લંબચોરસ સ્વિમિંગ પુલની લંબાઈ તેની પહોળાઈના બેગણા કરતાં 2 મીટર વધારે છે.
∴ લંબચોરસ સ્વિમિંગ પુલની લંબાઈ 2x + 2 મીટર છે.
હવે, લંબચોરસ સ્વિમિંગ પુલની પરિમિતિ 154 મીટર છે.
∴ 2 (લંબાઈ + પહોળાઈ) = પરિમિતિ
∴ 2 [(2x + 2) + x] = 154
∴ 2 [2x + 2 + x] = 154
∴ 2 (3x + 2) = 154
∴ 2 2(3x+2)2=1542 (∵ બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં)
∴ 3x + 2 = 77
∴ 3x = 77 – 2 (∵ 2ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 3x = 75
∴ 3x3=753 (∵ બંને બાજુ 3 વડે ભાગતાં)
∴ x = 25
આમ, લંબચોરસ સ્વિમિંગ પુલની પહોળાઈ 25 મી છે.
∴ લંબાઈ = 2x + 2 = 2 (25) + 2 = 50 + 2 = 52 મી
આમ, સ્વિમિંગ પુલની લંબાઈ 52 મીટર અને પહોળાઈ 25 મીટર છે.

પ્રશ્ન ૩. એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પાયાનું માપ 43 સેમી છે. જો ત્રિકોણની પરિમિતિ 4215 સેમી હોય, તો ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓની લંબાઈ શોધો.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પાયાની લંબાઈ 43 સેમી છે.
ધારો કે, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની સરખી બાજુની લંબાઈ x સેમી છે.
હવે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ 4215 સેમી = 6215 સેમી છે.
સમઢિબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ = ત્રિકોણની ત્રણે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો
= 43 + x + x = 4215 સેમી
∴ 43 + 2x = 6215
∴ 2x = 6215−43 (∵ 43 ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 2x = 62−2015 (∵ 15 અને 3નો લ.સા.અ. 15 છે.)
∴ 2x = 4215
∴ 2x2=4215×12 (∵ બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં)
∴ x = 2115
∴ x = 7×35×3
∴ x = 75
∴ x = 125
આમ, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓની લંબાઈ 125 સેમી છે.

પ્રશ્ન 4. બે સંખ્યાઓનો સરવાળો 95 છે. એક સંખ્યા બીજી સંખ્યા કરતાં 15 વધારે હોય, તો તે સંખ્યાઓ શોધો.

ધારો કે, બે સંખ્યાઓમાંથી નાની સંખ્યા x છે.
મોટી સંખ્યા એ નાની સંખ્યા કરતાં 15 વધારે છે.
∴ મોટી સંખ્યા x + 15 હોય.
હવે, બે સંખ્યાઓનો સરવાળો 95 છે.
∴ x + (x + 15) = 95
∴ x + x + 15 = 95
∴ 2x + 15 = 95
∴ 2x = 95 – 15 (∵ 15ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 2x = 80
∴ 2x2=802 (∵ બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં)
∴ x = 40
નાની સંખ્યા 40 છે.
∴ મોટી સંખ્યા = x + 15 = 40 + 15 = 55
આમ, તે બે સંખ્યાઓ 40 અને 55 છે.

પ્રશ્ન 5. બે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર 5: ૩ અને તેમનો તફાવત 18 હોય, તો તે સંખ્યાઓ શોધો.

બે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર 5 : 3 છે.
ધારો કે, તે બે સંખ્યાઓ 5x અને 3x છે.
બે સંખ્યાઓનો તફાવત 18 છે.
∴ 5x – 3x = 18
∴ 2x = 18
∴ 2x2=182 (∵ બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં)
∴ x = 9
મોટી સંખ્યા = 6x = 5 × 9 = 45 અને
નાની સંખ્યા = 3x = 3 × 9 = 27
આમ, તે બે સંખ્યાઓ 45 અને 27 છે.

પ્રશ્ન 6. જો ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો 51 હોય, તો તે સંખ્યાઓ શોધો.


ધારો કે, ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ x, x + 1 અને ૪+ 2 છે.
આ ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો 51 છે.
∴ x + (x + 1) + (x + 2) = 51
∴ x + x + 1 + x + 2 = 51
∴ 3x + 3 = 51
∴ 3x = 51 – 3 (∵ 3ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 3x = 48
∴ 3x3=483 (∵ બંને બાજુ 3 વડે ભાગતાં)
∴ x = 16.
∴ પહેલી સંખ્યા x = 16, બીજી સંખ્યા x + 1 = 16 + 1 = 17 અને ત્રીજી સંખ્યા x + 2 = 16 + 2 = 18
આમ, તે ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ 16, 17 અને 18 છે.

પ્રશ્ન 7. 8ના ત્રણ ક્રમિક ગુણિતનો સરવાળો 888 છે, તો તે ગુણિત શોધો.


ધારો કે, 8ની ગુણિત ત્રણ ક્રમિક સંખ્યાઓ x, x + 8, x + 8 + 8 છે.
એટલે કે આ સંખ્યાઓ x, x + 8 અને x + 16 છે.
આ ત્રણેય સંખ્યાઓનો સરવાળો 888 છે.
∴ (x) + (x + 8) + (x + 16) = 888
∴ x + x + 8 + x + 16 = 888
∴ 3x + 24 = 888
∴ 3x = 888 – 24 (∵ 24ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 3x = 864
∴ 3x3=8643 (∵ બંને બાજુ 3 વડે ભાગતાં)
∴ x = 288
∴ પહેલી સંખ્યા = x = 288,
∴ બીજી સંખ્યા = x + 8 = 288 + 8 = 296
અને ત્રીજી સંખ્યા = x + 18 = 288 + 18 = 304
આમ, આ ત્રણ ક્રમિક ગુણિત સંખ્યાઓ 288, 296 અને 304 છે.

પ્રશ્ન 8. ચઢતા ક્રમમાં રહેલી ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓને અનુક્રમે 2, 3 તથા 4 વડે ગુણાકાર કરી અને સરવાળો કરતાં જો સરવાળો 74 આવે, તો તે સંખ્યાઓ શોધો.


ધારો કે, ચઢતા ક્રમમાં રહેલી ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ x, (x + 1) અને (x + 2) છે.
રકમમાં આપ્યા પ્રમાણે પહેલી સંખ્યાને 2 વડે, બીજી સંખ્યાને 3 વડે અને ત્રીજી સંખ્યાને 4 વડે ગુણીને ગુણાકારોનો સરવાળો કરતાં 74 આવે છે.
∴ 2 × (x) + 3 × (x + 1) + 4 × (x + 2) = 74
∴ 2x + 3x + 3 + 4x + 8 = 74
∴ 9x + 11 = 74.
∴ 9x = 74 – 11 (∵ 11ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 9x = 63
∴ 9x9=639 (∵ બંને બાજુ 9 વડે ભાગતાં)
∴ x = 7
∴ પહેલી સંખ્યા = x = 7, બીજી સંખ્યા = x + 1 = 7 + 1 = 8 અને ત્રીજી સંખ્યા = x + 2 = 7 + 2 = 9
આમ, ચઢતા ક્રમમાં રહેલી ત્રણ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ 7, 8 અને 9 છે.

પ્રશ્ન 9. રાહુલ અને હારુનની હાલની ઉંમરનો ગુણોત્તર 5 : 7 છે. 4 વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો 56 વર્ષ થાય, તો તેમની હાલની ઉંમર શોધો.


રાહુલ અને હારુનની હાલની ઉંમરનો ગુણોત્તર 5 : 7 છે.
ધારો કે, રાહુલની હાલની ઉંમર 5x અને હારુનની હાલની ઉંમર 7x છે.
4 વર્ષ પછી રાહુલની ઉંમર 5x + 4 વર્ષ અને
હારુનની ઉંમર 7x + 4 વર્ષ થશે.
4 વર્ષ પછી બંનેની ઉંમરનો સરવાળો 56 વર્ષ થશે.
∴ (5x + 4) + (7x + 4) = 56
∴ 5x + 4 + 7x + 4 = 56
∴ 12x + 8 = 56
∴ 12x = 56 – 8 (∵ 8ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 12x = 48
∴ 12x12=4812 (∵ બંને બાજુ 12 વડે ભાગતાં)
∴ x = 4
∴ રાહુલની હાલની ઉંમર = 5x = 5 × 4 = 20 વર્ષ,
હારુનની હાલની ઉંમર = 7x = 7 × 4 = 28 વર્ષ
આમ, રાહુલની હાલની ઉંમર 20 વર્ષ અને હારુનની હાલની ઉંમર 28 વર્ષ છે.

પ્રશ્ન 10. વર્ગખંડમાં છોકરા અને છોકરીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર 7 : 5 છે. જો છોકરાઓની સંખ્યા છોકરીઓની સંખ્યા કરતાં 8 વધારે હોય, તો વર્ગખંડમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા શોધો.


વર્ગખંડમાં છોકરાઓ અને છોકરીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર 7: 5 છે.
ધારો કે, છોકરાઓની સંખ્યા 7x અને છોકરીઓની સંખ્યા 5x છે.
હવે, છોકરાઓની સંખ્યા એ છોકરીઓની સંખ્યા કરતાં 8 વધારે છે.
∴ 7x = 5x + 8
∴ 7x – 5x = 8 (∵ 5xને ડા.બા. લઈ જતાં)
∴ 2x = 8
∴ 2x2=82 (∵ બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં)
∴ x = 4
∴ છોકરાઓની સંખ્યા = 7x = 7 × 4 = 28 અને
છોકરીઓની સંખ્યા = 6x = 5 × 4 = 20
∴ વર્ગખંડમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા = 28 + 20 = 48
આમ, વર્ગખંડમાં છોકરાઓની સંખ્યા 28, છોકરીઓની સંખ્યા 20 અને વર્ગખંડમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા 48 છે.

પ્રશ્ન 11. ભરતના પિતાજી ભરતના દાદા કરતાં 26 વર્ષ નાના અને ભારત કરતાં 29 વર્ષ મોટા છે. જો ત્રણેયની ઉંમરનો સરવાળો 135 વર્ષ હોય, તો ત્રણેયની ઉંમર શોધો.


ધારો કે, ભારતની ઉંમર x વર્ષ છે.
હવે, ભારતના પિતા ભરત કરતાં 29 વર્ષ મોટા છે.
∴ ભરતના પિતાની ઉંમર = (x + 29) વર્ષ
ભરતના પિતાજી ભરતના દાદા કરતાં 26 વર્ષ નાના છે.
∴ ભરતના દાદા ભરતના પિતા કરતાં 26 વર્ષ મોટા છે.
∴ ભરતના દાદાની ઉંમર = (x + 29 + 26) વર્ષ = (x + 55) વર્ષ હવે, આ ત્રણેયની ઉંમરનો સરવાળો 135 વર્ષ છે.
∴ (x) + (x + 29) + (x + 55) = 135
∴ x + x + 29 + x + 55 = 135
∴ 3x + 84 = 135
∴ 3x = 135 – 84 (∵ 84ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 3x = 51
∴ 3x3=513 (∵ બંને બાજુ 3 વડે ભાગતાં)
∴ x = 17
∴ ભરતની ઉંમર = x = 17, ભરતના પિતાની ઉંમર = x+ 29 = 17 + 29 = 46 વર્ષ અને ભરતના દાદાની ઉંમર = x + 55 = 17 + 55 = 72 વર્ષ આમ, ભરતની ઉંમર 17 વર્ષ, તેના પિતાની ઉંમર 46 વર્ષ અને તેના દાદાની ઉંમર 12 વર્ષ છે.

પ્રશ્ન 12. 15 વર્ષ પછી રવિની ઉંમર તેની હાલની ઉંમર કરતાં ચાર ગણી થાય, તો રવિની હાલની ઉંમર શોધો.

ધારો કે, રવિની હાલની ઉંમર x વર્ષ છે.
રવિની હાલની ઉંમરના ચાર ગણા = 4 × x = 41 વર્ષ
∴ 15 વર્ષ પછી રવિની ઉંમર = (x + 15) વર્ષ થશે.
આ ઉંમર તેની હાલની ઉંમરના ચાર ગણી છે.
∴ x + 15 = 4x
∴ 4x = x + 15 (∵ બંને બાજુ બદલતાં)
∴ 4x – x = 15 (∵ xને ડો.બા. લઈ જતાં)
∴ 3x = 15
∴ 3x3=153 (∵ બંને બાજુ 3 વડે ભાગતાં)
∴ x = 5.
આમ, રવિની હાલની ઉંમર 6 વર્ષ છે.

પ્રશ્ન 13. એક સંમેય સંખ્યાને 52 વડે ગુણી અને પરિણામમાં 23 ઉમેરતાં આપણને −712 મળે, તો તે સંખ્યા શોધો.


ધારો કે, આ સંમેય સંખ્યા x છે.
આ સંમેય સંખ્યાને 52 વડે ગુણતાં 52 × x મળે એટલે કે 5x2 થાય.
આ પરિણામમાં 23 ઉમેરતાં 5x2+23 મળે.
પરંતુ આ પરિણામ −712 છે.
∴ 5x2+23=−712
∴ 5x2=−712−23 (∵ 23 ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 5x2=−7−812 (∵ 12 અને 3નો લ.સા.અ. 12)
∴ 5x2=−1512
∴ 5x2×25=−1512×25 (∵ બંને બાજુ 25 વડે ગુણતાં)
∴ x = –12
આમ, તે સંમેય સંખ્યા –12 છે.

પ્રશ્ન 14. લક્ષ્મી એક બૅન્કમાં ખજાનચી છે. તેની પાસે અનુક્રમે ₹ 100, ₹ 50 અને ₹ 10ના મૂલ્યની ચલણી નોટો છે. આ નોટોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર અનુક્રમે 2 : 3 : 5 છે. જો કુલ રકમ ₹ 4,00,000 હોય, તો લક્ષ્મી પાસે દરેક મૂલ્યની કેટલી ચલણી નોટો હશે?


લક્ષ્મી પાસે ₹100, ₹ 50 અને ₹ 10ની ચલણી નોટની સંખ્યાનું પ્રમાણ 2 : 3 : 5 છે.
ધારો કે, લક્ષ્મી પાસે ₹ 100, ₹ 50 અને ₹ 10ની નોટ અનુક્રમે 2x, 3x અને 5x છે.
∴ લક્ષ્મી પાસેની ₹ 100ની નોટની કિંમત = 2x × 100 = ₹ 200x
લક્ષ્મી પાસેની ₹ 50ની નોટની કિંમત = 3x × 50 = ₹ 150x
લક્ષ્મી પાસેની ₹ 10ની નોટની કિંમત = 6x × 10 = ₹50x
હવે, લક્ષ્મી પાસે કુલ રકમ ₹ 4,00,000 છે.
₹ 100ની નોટની કિંમત + ₹ 50ની નોટની કિંમત + ₹ 10ની નોટની કિંમત = ₹ 4,00,000
∴ (200) + (150) + (50x) = 4,00,000
∴ 200x + 150x + 50x = 4,00,000
∴ 400x = 4,00,000
∴ 400x400=4,00,000400 (∵ બંને બાજુ 400 વડે ભાગતાં)
∴ x = 1000
∴ લક્ષ્મી પાસે ₹ 100ની નોટની સંખ્યા = 2x = 2 × 1000 = 2000,
₹ 50ની નોટની સંખ્યા = 3x = 3 × 1000 = 3000 અને
₹ 10ની નોટની સંખ્યા = 6x = 5 × 1000 = 5000
આમ, લક્ષ્મી પાસે ₹ 100ની 2000 નોટ, 50ની 8000 નોટ અને ₹ 10ની 5000 નોટ છે.

પ્રશ્ન 15. મારી પાસે ₹ 1, ₹ 2 અને ₹ 5ના મૂલ્યવાળા કુલ ₹ 300ના સિક્કા છે. ₹ 2ના સિક્કાની સંખ્યા, ₹ 5ના સિક્કા કરતાં ત્રણ ગણી છે. જો સિક્કાની કુલ સંખ્યા 160 હોય, તો દરેક મૂલ્યના સિક્કાઓની સંખ્યા શોધો.


ધારો કે, મારી પાસે ₹ 5ના સિક્કાની સંખ્યા x છે.
હવે, મારી પાસેના ₹ 2ના સિક્કા એ ₹ 5ના સિક્કા કરતાં ત્રણ ગણા છે.
∴ મારી પાસેના ₹ 2ના સિક્કાની સંખ્યા = 3x
હવે, મારી પાસે ₹ 5ના, ₹ 2ના અને ₹ 1ના કુલ સિક્કા 160 છે.
∴ મારી પાસેના ₹ 1ના સિક્કાની સંખ્યા = 160 – (x + 3x) = 160 – 4x હવે, મારી પાસેના સિક્કાની કિંમત –
₹ 5ના સિક્કાની કિંમત = 5 × x = 5x
₹ 2ના સિક્કાની કિંમત = 2 × 3x = 6x
₹ 1ના સિક્કાની કિંમત = 1 × (160 – 4x) = 160 – 4x
હવે, આ બધા જ સિક્કાઓની કુલ કિંમત 300 છે.
∴ (5x) + (6x) + (160 – 4x) = 300
∴ 5x + 6x + 160 – 4x = 300
∴ 11x – 4x + 160 = 300
∴ 7x + 160 = 300
∴ 7x = 300 – 160 (∵ 160ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 7x = 180
∴ 7x7=1407 (∵ બંને બાજુ 7 વડે ભાગતાં)
∴ x = 20
∴ ₹ 5ના સિક્કા = x = 20, ₹ 2ના સિક્કા = 3x = 3 × 20 = 60 અને
₹ 1ના સિક્કા = 160 – 4x = 160 – 4 × 20 = 160 – 80 = 80
આમ, મારી પાસે ₹ 5ના 20, ₹ 2ના 60 અને ₹ 1ના 80 સિક્કા છે.

પ્રશ્ન 16. એક નિબંધ સ્પર્ધાના આયોજકોએ પ્રત્યેક વિજેતાને ₹ 100 તથા વિજયી ન બનનારા દરેક સ્પર્ધકને ₹ 25નો પુરસ્કાર આપવાનું નક્કી કરેલ છે. જો પુરસ્કાર સ્વરૂપે આપવામાં આવેલ કુલ રકમ ₹ 3000 હોય, તો કુલ 63 સ્પર્ધકોમાંથી વિજેતા થનાર સ્પર્ધકની સંખ્યા શોધો.


ધારો કે, વિજેતા સ્પર્ધકોની સંખ્યા x છે.
હવે, સ્પર્ધકોની કુલ સંખ્યા 63 છે.
∴ વિજયી ન બનનાર સ્પર્ધકોની સંખ્યા (63 – x) છે.
હવે, વિજેતા સ્પર્ધકને દરેકને ₹ 100 પુરસ્કાર મળે છે.
∴ વિજેતા સ્પર્ધકને વહેંચાતી કુલ રકમ = x × 100 = ₹ 100x
હવે, વિજયી ન બનનાર સ્પર્ધક દરેકને ₹ 25 પુરસ્કાર અપાય છે.
∴ વિજયી ન બનનારને વહેંચાતી કુલ રકમ = ₹25 (63 – x)
= ₹ (1575 – 25x)
પણ વિજેતા સ્પર્ધકો અને વિજયી ન બનનાર સ્પર્ધકો બંનેના થઈને કુલ ₹ 3000 પુરસ્કાર અપાય છે.
∴ (100x) + (1575 – 25x) = 3000
∴ 100x + 1575 – 25x = 3000
∴ 75x + 1575 = 3000
∴ 75x = 3000 – 1575 (∵ 1575ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 75x = 1425
∴ 75x75=142575 (∵ બંને બાજુ 75 વડે ભાગતાં)
∴ x = 19
આમ, વિજેતા થનાર સ્પર્ધકોની સંખ્યા 19 છે.

 સ્વાધ્યાય 2.3

નીચેનાં સમીકરણોનો ઉકેલ મેળવો અને જવાબ ચકાસોઃ

પ્રશ્ન (1). 3 = 2x + 18

3x = 2x + 18
∴ 3x – 2x = 18 (∵ 2ને ડા.બા. લઈ જતાં)
∴ x = 18
ચકાસણીઃ સમીકરણની ડા.બા. = 3x = 3 × 18 = 54
સમીકરણની જ.બા. = 2x + 18
= 2 × 18 + 18
= 36 + 18
= 54
∴ ડા.બા. = જ.બા.
∴ આપણો જવાબ સાચો છે.

પ્રશ્ન (2). 5t – 3 = 3t – 5


5t – 3 = 3t – 5
∴ 5t – 3t – 3 = -5 (∵ રૂtને ડાબા. લઈ જતાં)
∴ 2t – 3 = -5
∴ 2t = – 5 + 3 (∵ -3ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 2t = -2
∴ 2t2=−22 (∵ બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં)
∴ t = – 1
ચકાસણીઃ સમીકરણની ડા.બા. = 5t – 3
= 5 × (-1) -3 = – 5 – 3 = -8
સમીકરણની જ.બા. = 3t – 5
= 3 × (- 1) – 5 = – 3 – 5 = – 8
∴ ડો.બા. = જ.બા.
∴ આપણો જવાબ સાચો છે.

પ્રશ્ન (3). 5x + 9 = 5 + 3x


5x + 9 = 5 + 3x
∴ 5x = 5 + 3x – 9 (∵ 9ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 6x = 3x – 4
∴ 5x – 3x = -4 (∵ 3xન્ને ડો.બા. લઈ જતાં)
∴ 2x = -4
∴ 2x2=−42 (∵ બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં)
∴ x = -2
ચકાસણીઃ સમીકરણની ડા. બા. = 5x + 9
= 5 (2) + 9 = – 10 + 9 = -1
સમીકરણની જ.બા. = 5 + 3x
= 5 + 3 (-2)
= 5 – 6
= – 1
∴ ડા.બા. = જ.બા.
∴ આપણો જવાબ સાચો છે.

પ્રશ્ન (4). 4z + 3 = 6 + 2z

4z + 3 = 6 + 2z
∴ 4z = 6 + 2z – 3 (∵ 3ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 4z = 2z + 3
∴ 4z – 2z = 3 (∵ 2zને ડો.બા. લઈ જતાં)
∴ 2z = 3
∴ 2z2=32 (∵ બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં)
∴ z = 32
ચકાસણી: સમીકરણની ડા.બા. = 4z + 3
= 4 (32) + 3
= 6 + 3 = 9
સમીકરણની જ.બા. = 6 + 2z
= 6 + 2 (32)
= 6 + 3 = 9
∴ ડા.બા. = જ.બા.
∴ આપણો જવાબ સાચો છે.

પ્રશ્ન (5). 2x – 1 = 14 – x


2x – 1 = 14 – x
∴ 2x = 14 – x + 1 (∵ -1ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 2x = 15 – x
∴ 2x + x = 15 (∵ -xને ડા.બા. લઈ જતાં)
∴ 3x = 15
∴ 3x3=153 (∵ બંને બાજુ 3 વડે ભાગતાં)
∴ x = 5
ચકાસણી: સમીકરણની ડા.બા. = 2x – 1
= 2 (5) – 1
= 10 – 1
= 9
સમીકરણની જ.બા. = 14 – x
= 14 – 5
= 9
∴ ડો.બા. = જ.બા.
∴ આપણો જવાબ સાચો છે.

પ્રશ્ન (6). 8x + 4 = 3(x – 1) + 7


8x + 4 = 3(x – 1) + 7
∴ 81 + 4 = 3x – 3 + 7
∴ 8x + 4 = 3x + 4
∴ 8x = 3x + 4 – 4 (∵ 4ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 8x = 3x
∴ 8x – 3x = 0 (∵ 3xને ડો.બા. લઈ જતાં)
∴ 5x = 0
∴ x = 0.
ચકાસણી: સમીકરણની ડા.બા. = 8x + 4
= 8 (0) + 4
= 0 + 4
= 4
સમીકરણની જ.બા. = 3(x – 1) + 7
= 3 (0 – 1) + 7
= 3(-1) + 7
= -3 + 7
= 4
∴ ડો.બા. = જ.બા.
∴ આપણો જવાબ સાચો છે.

પ્રશ્ન (7). x = 45(x + 10)

x = 45(x + 10)

ચકાસણીઃ સમીકરણની ડા.બા. = x = 40
સમીકરણની જ.બા. = 45(x + 10)
= 45(40 + 10)
= 45(50)
= 4 × 10
= 40
∴ ડો.બા. = જ.બા.
∴ આપણો જવાબ સાચો છે.

પ્રશ્ન (8).  2x3 + 1 = 7x15 + 3

2x3 + 1 = 7x15 + 3

∴ ડા.બા. = જ.બા.
∴ આપણો જવાબ સાચો છે.

પ્રશ્ન (9). 2y + 53 = 263 – y


2y + 53 = 263 – y
∴ 2y + y + 53 = 263 (∵ -yને ડા.બા. લઈ જતાં)
∴ 3y + 53 = 263
∴ 3y = 263−53 (∵ 53ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 3y = 26−53
∴ 3y = 213
∴ 3y = 7
∴ 3y3=73 (∵ બંને બાજુ 3 વડે ભાગતાં)
∴ y = 73
ચકાસણીઃ સમીકરણની ડા.બા. = 2y + 53
= 2(73) + 53
= 143+53
= 14+53
= 193
સમીકરણની જ.બા. = 263 – y
= 263 – 73
= 26−73
= 193
∴ ડા.બા. = જ.બા.
∴ આપણો જવાબ સાચો છે.

પ્રશ્ન (10). 3m = 5m – 85


3m = 5m – 85
∴ 3m – 5m = –85 (∵ 5mને ડા.બા. લઈ જતાં)
∴ -2m = –85
∴ 2m = 85 (∵ બંને બાજુ (- 1) વડે ગુણતાં)
∴ 2m2=85×12 (∵ બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં)
∴ m = 45
ચકાસણી : સમીકરણની ડા.બા. = 3m = 3(45) = 125
સમીકરણની જ.બા. = 5m – 85
= 5(45) – 85
= 4 – 85
= 20−85
= 125
∴ ડા.બા. = જ.બા.
∴ આપણો જવાબ સાચો છે.

 સ્વાધ્યાય 2.4

પ્રશ્ન 1. અમીના એક સંખ્યા ધારે છે. તે આ સંખ્યામાંથી 52 બાદ કરી અને મળેલ પરિણામનો 8 વડે ગુણાકાર કરે છે. જો મળેલ નવું પરિણામ ધારેલ સંખ્યાનું ત્રણ ગણું હોય, તો અમીનાએ ધારેલી સંખ્યા શોધો.

ધારો કે, અમીનાએ ધારેલી સંખ્યા x છે.
આ સંખ્યામાંથી 52 બાદ કરતાં x – 52 મળે.
આ પરિણામને 8 વડે ગુણતાં 8(x – 52) થાય.
પણ આ પરિણામ ધારેલી સંખ્યાના ત્રણ ગણા જેટલું છે. એટલે કે 3x જેટલું છે.
∴ 8(x – 52) = 3x
∴ 8x – 20 = 3x
∴ 8x = 3x + 20 (∵ -20ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 8x – 3x = 20 (∵ 3xને ડા.બા. લઈ જતાં)
∴ 5x = 20
∴ 5x5=205 (∵ બંને બાજુ 5 વડે ભાગતાં)
∴ x = 4
આમ, અમીનાએ ધારેલી સંખ્યા 4 છે.

પ્રશ્ન 2. બે ધન સંખ્યામાં પહેલી સંખ્યા બીજી સંખ્યા કરતાં 5 ગણી છે. દરેક સંખ્યામાં 21 ઉમેરતાં નવી મળેલ બંને સંખ્યાઓમાંથી પહેલી સંખ્યા બીજી સંખ્યા કરતાં બમણી થાય છે, તો મૂળ સંખ્યાઓ શોધો.

ધારો કે, બીજી ધન સંખ્યા x છે.
∴ પહેલી ધન સંખ્યા 5x થાય.
પહેલી ધન સંખ્યામાં 21 ઉમેરતાં (5x + 21) થાય અને બીજી ધન સંખ્યામાં 21 ઉમેરતાં (x + 21) થાય.
હવે, પહેલી ધન સંખ્યાવાળું પરિણામ બીજી ધન સંખ્યાના પરિણામ કરતાં બમણું છે.
∴ 5x + 21 = 2 (x + 21)
∴ 5x + 21 = 2x + 42
∴ 5x = 2x + 42 – 21 (∵ 21ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 5x = 2x + 21
∴ 5x – 2x = 21 (∵ 2xને ડાબા. લઈ જતાં)
3x = 21
∴ 3x3=213 (∵ બંને બાજુ 3 વડે ભાગતાં)
∴ x = 7
તેથી બીજી ધન સંખ્યા x = 7 અને પહેલી ધન સંખ્યા = 6x = 5 × 7 = 35 આમ, તે બે ધન સંખ્યાઓ 35 અને 7 છે.

પ્રશ્ન 3. બે અંકની સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 9 છે. જો અંકોની અદલાબદલી કરતાં મળેલ નવી સંખ્યા, મૂળ સંખ્યા કરતાં 27 વધારે હોય, તો મૂળ સંખ્યા શોધો.

ધારો કે, બે અંકોની આ સંખ્યાનો એકમનો અંક x છે.
સંખ્યાના એકમના અને દશકના અંકોનો સરવાળો 9 છે.
∴ મૂળ સંખ્યાનો દશકનો અંક (9 – x) હોય.
∴ મૂળ સંખ્યા = 10 (દશકનો અંક) + એકમનો અંક
= 10 (9 – x) + x
= 90 – 10x + x
= 90 – 9x
હવે, આ સંખ્યાના એકમના અંક અને દશકના અંકની અદલાબદલી કરતાં મળતી નવી સંખ્યાનો એકમનો અંક (9 – x) થાય અને નવો દશકનો અંક x થાય.
∴ બનતી નવી સંખ્યા = 10 (દશકનો અંક) + એકમનો અંક
= 10 (x) + (9 – x)
= 10x + 9 – x
= 9x + 9
રકમ પ્રમાણે બનતી આ નવી સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતાં 27 વધી જાય છે.
∴ નવી સંખ્યા = મૂળ સંખ્યા + 27
∴ 9x + 9 = (90 – 9x) + 27
∴ 9x + 9 = 90 – 9x + 27
∴ 9x + 9 = 117 – 9x
∴ 9x = 117 – 9x – 9 (∵ 9ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 9x = 108 – 9x
∴ 9x + 9x = 108 (∵ -9xને ડા.બા. લઈ જતાં)
∴ 18x = 108
∴ 18x18=10818 (∵ બંને બાજુ 18 વડે ભાગતાં)
∴ x = 6
∴ મૂળ સંખ્યા = 90 – 9x
= 90 – 9 (6)
= 90 – 54
= 36
આમ, મૂળ સંખ્યા 36 હોય.

પ્રશ્ન 4. બે અંકની સંખ્યાના અંકો પૈકી એક અંક બીજા અંક કરતાં ત્રણ ગણો છે. અંકોની અદલાબદલી કરતાં મળેલ નવી સંખ્યાને, મૂળ સંખ્યામાં ઉમેરતાં 88 મળે છે, તો મૂળ સંખ્યા શોધો.


ધારો કે, બે અંકોની આ સંખ્યાનો એકમનો અંક x છે.
આ સંખ્યાનો દશકનો અંક એ એકમના એક કરતાં ત્રણ ગણો છે.
∴ સંખ્યાનો દશકનો અંક 3x છે.
∴ મૂળ સંખ્યા = 10 (દશકનો અંક) + એકમનો અંક
= 10 (3x) + x
= 30x + x
= 31x
હવે, આ સંખ્યાના એકમના અંક અને દશકના અંકની અદલાબદલી કરતાં મળતી નવી સંખ્યાનો નવો એકમનો અંક 3X અને નવો દશકનો અંક x થાય.
∴ નવી સંખ્યા = 10 (દશકનો અંક) + એકમનો અંક
= 10 (x) + 3x
= 10x + 3x
= 13x
હવે, રકમ પ્રમાણે મૂળ સંખ્યા અને નવી સંખ્યાનો સરવાળો 88 થાય છે.
∴ 31x + 13x = 88
∴ 44x = 88
∴ 44x44=8844 (∵ બંને બાજુ 44 વડે ભાગતાં)
∴ x = 2
મૂળ સંખ્યા = 31x
= 31 × 2
= 62.
આમ, મૂળ સંખ્યા 62 (અથવા 26) છે.

પ્રશ્ન 5.સરોજની માતાની હાલની ઉંમર, સરોજની હાલની ઉંમર કરતાં છગણી છે. 5 વર્ષ પછી સરોજની ઉંમર તેની માતાની હાલની ઉંમર કરતાં ત્રીજા ભાગની થશે, તો બંનેની હાલની ઉંમર શોધો.


ધારો કે, સરોજની હાલની ઉંમર x વર્ષ છે.
સરોજની માતાની હાલની ઉંમર સરોજની હાલની ઉંમર કરતાં છગણી છે.
∴ સરોજની માતાની હાલની ઉંમર 6 વર્ષ હોય.
5 વર્ષ પછી સરોજની ઉંમર (x + 5) વર્ષ થશે.
તે વખતે સરોજની ઉંમર તેની માતાની હાલની ઉંમરના ત્રીજા ભાગની હશે.
∴ 13 (માતાની ઉંમર) = સરોજની 5 વર્ષ પછીની ઉંમર
∴ 13(6x) = x + 5
∴ 2x = x + 5
∴ 2x – x = 5 (∵ xને ડાબા. લઈ જતાં)
∴ x = 5
∴ સરોજની હાલની ઉંમર = x = 5 વર્ષ, સરોજની માતાની હાલની ઉંમર
= 6x
= 6 × 5
= 30 વર્ષ
આમ, સરોજની હાલની ઉંમર 6 વર્ષ અને તેની માતાની હાલની ઉંમર 30 વર્ષ છે.

પ્રશ્ન 6.  મહુલી ગામમાં જમીનનો એક સાંકડો લંબચોરસ ટુકડો શાળા બનાવવા માટે ફાળવેલ છે. પ્લૉટની લંબાઈ અને પહોળાઈનો ગુણોત્તર 11 : 4 છે. જો આ પ્લૉટની ફરતે વાડ બનાવવા માટે ગ્રામપંચાયતને ₹ 100 પ્રતિ મીટરના દરે ₹ 75,000 ખર્ચ કરવા પડે, તો પ્લૉટની લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધો.


લંબચોરસ પ્લૉટની લંબાઈ અને પહોળાઈ 11 : 4ના ગુણોત્તરમાં છે.
ધારો કે, લંબચોરસ પ્લૉટની લંબાઈ 11x અને પહોળાઈ 4x છે.
∴ લંબચોરસ પ્લૉટની પરિમિતિ = 2 (લંબાઈ + પહોળાઈ)
= 2 (11x + 4x)
= 2 (15x)
= 30x
હવે, લંબચોરસ પ્લૉટની ફરતે વાડ કરવાનો ખર્ચ પ્રતિ મીટરે 100 છે.
∴ 30x મીટર વાડ કરવાનો કુલ ખર્ચ = ₹ 100 × 30x = ₹ 3000 x
રકમ પ્રમાણે વાડ કરવાનો કુલ ખર્ચ ₹ 75,000 થયો છે.
∴ 3000 x = 75,000
∴ 12 (∵ બંને બાજુ 3000 વડે ભાગતાં)
∴ x = 25
લંબચોરસ પ્લૉટની લંબાઈ = 10x = 11 × 25 = 275 મીટર અને પહોળાઈ = 4x = 4 × 25 = 100 મીટર
આમ, લંબચોરસ પ્લૉટની લંબાઈ 275 મીટર અને પહોળાઈ 100 મીટર છે.

પ્રશ્ન 7. હસન ગણવેશ બનાવવા માટે બે પ્રકારનું કાપડ ખરીદે છે. શર્ટ માટેના કાપડનો ભાવ ₹ 50 પ્રતિ મીટર છે તથા પાટલૂનના કાપડનો ભાવ ₹ 90 પ્રતિ મીટર છે. શર્ટના પ્રત્યેક ૩ મીટર કાપડ માટે તે પાટલૂનનું 2 મીટર કાપડ ખરીદે છે. તે આ કાપડને અનુક્રમે 12 % અને 10 % નફા સાથે વેચે છે, તેને કુલ ₹ 36,600 મળે છે, તો તેણે પાટલૂન માટે કેટલું કાપડ ખરીધું હશે?

હસને શર્ટના દર 3 મીટરે પાટલૂનનું 2 મીટર કાપડ ખરીદ્યું છે.
એટલે કે શર્ટના અને પાટલૂનના કાપડની ખરીદીનો ગુણોત્તર ૩: 2 છે.
ધારો કે, હસને 3x મીટર શર્ટનું કાપડ અને 2 મીટર પાટલૂનનું કાપડ ખરીધું છે.
પાટલૂનના કાપડની ખરીદ કિંમત = 2x × ₹ 90 = ₹ 180x
શર્ટના કાપડની ખરીદ કિંમત = 3x × ₹ 50 = ₹ 150x
હવે, પાટલૂનનું કાપડ 10 % નફાથી વેચે છે. એટલે કે ₹ 100 મૂ. કિ.ની વસ્તુની વે,કિં. ₹ 110 છે.
∴ પાટલૂનના કાપડની વે.કિ. = ₹ 110100 × 180x = ₹ 198
અને શર્ટનું કાપડ 12 % નફાથી વેચે છે. એટલે કે ₹ 100 મૂ. કિં.ની વસ્તુની વેકિં. ₹ 112 છે.
∴ શર્ટના કાપડની વેકિ. = ₹ 112100 × 150x = ₹ 168x
કાપડની કુલ વેકિં. = ₹ 981 + ₹ 168x = ₹ 366x
રકમ પ્રમાણે આ વેકિ. ₹ 36,600 છે.
∴ 366x = 36,600
∴ 366x366=36600366 (∵ બંને બાજુ 366 વડે ભાગતાં)
∴ x = 100
હવે, હસને પાટલૂનનું કાપડ 2x મીટર ખરીધું છે.
∴ હસને ખરીદેલું પાટલૂનનું કાપડ = 2x = 2 × 100 = 200 મીટર આમ, હસને 200 મીટર પાટલૂનનું કાપડ ખરીદ્યું હશે.

પ્રશ્ન 8. હરણના એક ઝુંડમાંથી અડધાં હરણ ખેતરમાં ચરી રહ્યાં છે. બાકી બચેલાં હરણના ત્રણ ચતુર્થાંશ ભાગનાં હરણ ઊછળકૂદ કરી રહ્યાં છે અને બાકીનાં 9 હરણ તળાવમાંથી પાણી પી રહ્યાં છે, તો ઝુંડમાં રહેલાં હરણની સંખ્યા શોધો.


ધારો કે, ઝુંડમાં હરણની કુલ સંખ્યા x છે.
કુલ હરણમાંથી અડધાં હરણ ખેતરમાં ચરી રહ્યાં છે.
એટલે કે x2 હરણ ખેતરમાં ચરી રહ્યાં છે.
∴ બાકીનાં હરણ = x – x2 = x2
બાકીનાં હરણમાંના 34 ભાગનાં હરણ ઊછળકૂદ કરે છે.
∴ ઊછળકૂદ કરનાર હરણ = 34 × (બાકીનાં હરણ) = 34 × x2 = 3x8 વળી, 9 હરણ તળાવમાંથી પાણી પી રહ્યાં છે.
∴ કુલ હરણની સંખ્યા = x2+3x8+9 = ધારેલી હરણની સંખ્યા
આમ, x2+3x8+9 = x
∴ x2+3x8 = x – 9 (∵ 9ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ x2+3x8−x = -9 (∵ xને ડાબા. લઈ જતાં)
∴ 4x+3x−8x8 = – 9 (∵ 2 અને 8નો લ.સા.અ. 8)
∴ −x8 = -9
∴ −x8 × 8 = – 9 × 8 (∵ બંને બાજુ 8 વડે ગુણતાં)
∴ -x = – 72
∴ x = 72 (∵ બંને બાજુ (-1) વડે ગુણતાં)
આમ, ઝુંડમાં રહેલાં કુલ હરણની સંખ્યા 72 હોય.

પ્રશ્ન 9. દાદાજીની ઉંમર તેમની પૌત્રીની ઉંમર કરતાં દસ ગણી છે. જો તેમની ઉંમર તેમની પૌત્રીની ઉંમર કરતાં 54 વર્ષ વધારે હોય, તો બંનેની ઉંમર શોધો.


ધારો કે, પૌત્રીની હાલની ઉંમર ૪ વર્ષ છે.
પૌત્રીની હાલની ઉંમર કરતાં દાદાની હાલની ઉંમર દસ ગણી છે.
∴ દાદાની હાલની ઉંમર 10x વર્ષ છે.
વળી દાદાની ઉંમર પૌત્રીની ઉંમર કરતાં 54 વર્ષ વધારે છે.
∴ 10x = x + 54
∴ 10x – x = 54 (∵ xને ડો.બા. લઈ જતાં)
∴ 9x = 54
∴ 9x9=549 (∵ બંને બાજુ 9 વડે ભાગતાં)
∴ x = 6
પૌત્રીની હાલની ઉંમર 6 વર્ષ અને દાદાની હાલની ઉંમર 10x = 10 × 6 = 60 વર્ષ આમ, પૌત્રીની હાલની ઉંમર 6 વર્ષ અને દાદાની હાલની ઉંમર 60 વર્ષ છે.

પ્રશ્ન 10. અમનની હાલની ઉંમર તેના પુત્રની હાલની ઉંમર કરતાં ત્રણ ગણી છે. 10 વર્ષ પહેલાં તેની ઉંમર તેના પુત્રની ઉંમર કરતાં પાંચ ગણી હોય, તો તેમની હાલની ઉંમર શોધો.


ધારો કે, અમનના પુત્રની હાલની ઉંમર x વર્ષ છે.
હવે, અમનની હાલની ઉંમર તેના પુત્રની હાલની ઉંમર કરતાં ત્રણ ગણી છે.
∴ અમનની ઉંમર વર્ષ છે.
દસ વર્ષ પહેલાં અમનના પુત્રની ઉંમર = (x – 10) વર્ષ હશે.
અને દસ વર્ષ પહેલાં અમનની ઉંમર = (3x – 10) વર્ષ હશે.
દસ વર્ષ પહેલાં અમનની ઉંમર તેના પુત્રની ઉંમર કરતાં પાંચ ગણી હતી.
∴ (પુત્રની 10 વર્ષ પહેલાની ઉંમર) × 5 = અમનની 10 વર્ષ પહેલાંની ઉંમર
∴ (x – 10) × 5 = (3x – 10)
∴ 5x – 50 = 3x- 10
∴ 5x = 3x – 10 + 50 (∵ -50ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 5x = 3x + 40
∴ 5x – 3x = 40 (∵ 3xને ડાબા. લઈ જતાં)
∴ 2x = 40
∴ 2x2=402 (∵ બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં)
∴ x = 20
પુત્રની હાલની ઉંમર x = 20 વર્ષ અને
અમનની હાલની ઉંમર = 3x = 3 × 20 = 60 વર્ષ
આમ, પુત્રની હાલની ઉંમર 20 વર્ષ અને અમનની હાલની ઉંમર 60 વર્ષ છે.

સ્વાધ્યાય 2.5

નીચેનાં સુરેખ સમીકરણોનો ઉકેલ મેળવોઃ

પ્રશ્ન (1).  x2−15=x3+14

ઉત્તરઃ

x2−15=x3+14 

પ્રશ્ન (2).  n2−3n4+5n6 = 21

∴ n2−3n4+5n6 = 21
∴ n×62×6−3n×34×3+5n×26×2 = 21 (∵ ડો.બા.માં 2, 4 અને 6નો લ.સા.અ. 12)
∴ 6n−9n+10n12 = 21
∴ 7n12 = 21
∴ 7n = 21 × 12 (∵ બંને બાજુ 12 વડે ગુણતાં)
∴ n = 21×127 (∵ બંને બાજુ 7 વડે ભાગતાં)
∴ n = 36

પ્રશ્ન (3).  x + 7 – 8x3 = 176−5x2


x + 7 – 8x3 = 176−5x2
3, 6 અને 2નો લ.સા.અ. 6 તેથી સમીકરણની બંને બાજુ 6 વડે ગુણતાં,
(6 × x) + (6 × 7) – (6×8x3) = (6×176)−(6×5x2)
∴ 6x + 42 – 16x = 17 – 15x
∴ -10x + 42 = 17 – 15x
∴ -10x + 5x = 17 – 42 (∵ -15ને ડા.બા. અને 42ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 5x = -25
∴ x = -5 (∵ બંને બાજુ 5 વડે ભાગતાં)

પ્રશ્ન (4).  x−53=x−35

x−53=x−35
3 અને 5નો લ.સા.અ. 15 છે. તેથી સમીકરણની બંને બાજુ 15 વડે ગુણતાં,
∴ 15(x−53) = 15(x−35)
∴ 5 (x – 5) = 3(x – 3)
∴ 5x – 25 = 3x – 9
∴ 5x – 3x = 25 – 9 (∵ 3xને ડાબા. અને -25ને જ.બા. લેતાં)
∴ 2x = 16.
∴ 2x2=162 (∵ બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં)
∴ x = 8

પ્રશ્ન (5).  3t−24−2t+33=23−t


3t−24−2t+33=23−t
4 અને 3નો લ.સા.અ. 12 છે. તેથી સમીકરણની બંને બાજુ 12 વડે ગુણતાં,
12(3t−24) – 12(2t+33) = 12 × 23 – 12t
∴ 3(3t – 2) – 4(2t + 3) = 8 – 12t
∴ 9t – 6 – 8t – 12 = 8 – 12t
∴ t – 18 = 8 – 12t
∴ t + 12t = 8 + 18 (∵ -18ને જ.બા. અને -12ને ડાબા. લેતાં)
∴ 13t = 26
∴ 13t13=2613 (∵ બંને બાજુ 13 વડે ભાગતાં)
∴ t = 2

પ્રશ્ન (6).  m – m−12 = 1 – m−23


m – m−12 = 1 – m−23
2 અને 3નો લ.સા.અ. 6 છે. તેથી સમીકરણની બંને બાજુ 6 વડે ગુણતાં,
6m – (m−12) = 1 × 6 – 6(m−23)
∴ 6m – 3(m – 1) = 6 – 2(m – 2)
∴ 6m – 3m + 3 = 6 – 2m + 4
∴ 3m + 3 = 10 – 2m
∴ 3m + 2m = 10 – 3 (∵ -2mને ડો.બા. અને 3ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 5m = 7
∴ 5m5=75 (∵ બંને બાજુ 5 વડે ભાગતાં)
∴ m = 75

સાદુંરૂપ આપી નીચેનાં સમીકરણોનો ઉકેલ મેળવોઃ

પ્રશ્ન (7). 3(t – 3) = 5(2n + 1)


3(t – 3) = 5(2n + 1)
∴ 3t – 9 = 10t + 5
∴ 3t – 10t = 5 + 9 (∵ -9ને જ.બા. અને 10tને ડો.બા. લઈ જતાં)
∴ -7t = 14
∴ 7t = -14 (∵ બંને બાજુ (-1) વડે ગુણતાં)
∴ 7t7=−147 (∵ બંને બાજુ 7 વડે ભાગતાં)
∴ t = -2

પ્રશ્ન (8). 15(y – 4) -2 (y – 9) + 5(y + 6) = 0


15(y – 4) -2 (y – 9) + 5(y + 6) = 0
∴ 15y – 60 – 2y + 18 + 5y + 30 = 0
∴ 15y – 20 + 5y – 60 + 18 + 30 = 0
∴ 15y + 5y – 2y + 18 + 30 – 60 = 0 (∵ પદોની ગોઠવણી)
∴ 18y – 12 = 0
∴ 18y = 12 (∵ -12ને જ.બા. લઈ જતાં)
18y18=1218 (∵ બંને બાજુ 18 વડે ભાગતાં)
∴ y = 23

પ્રશ્ન (9). 3(5z – 7) -2 (9z – 11) = 4(8z – 13) – 17


3(5z – 7) -2 (9z – 11) = 4(8z – 13) – 17
∴ 15z – 21 – 18z + 22 = 32z – 52 – 17
∴ 15z – 18z – 21 + 22 = 32z + (- 52 – 17)
∴ -3z + 1 = 32z – 69
∴ – 3z – 32z = – 69 – 1 (∵ 1ને જ.બા. અને 32zને ડાબા. લઈ જતાં)
∴ – 35z = -70
∴ 35z = 70 (∵ બંને બાજુ (- 1) વડે ગુણતાં)
∴ 35z35=7035 (∵ બંને બાજુ 35 વડે ભાગતાં)
∴ z = 2

પ્રશ્ન (10).
0.25 (4f – 3) = 0.05(10f – 9)

સ્વાધ્યાય 2.6

નીચે આપેલાં સમીકરણો ઉકેલો : (દાખલા 1થી 5)

પ્રશ્ન 1.  8x−33x = 2

8x−33x = 2
∴ 3x(8x−33x) = 3x (2) (∵ બંને બાજુ 3 વડે ગુણતાં)
∴ 8x – 3 = 6x
∴ 8x – 6x = 3 (∵ -3ને જ.બા. અને 6ને ડો.બા. લઈ જતાં)
∴ 2x = 3
∴ 2x2=32 (∵ બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં)
∴ x = 32

પ્રશ્ન 2.  9x7−6x = 2

9x7−6x = 2
∴ 9x = 15 (7 – 6x) (∵ ચોકડી ગુણાકાર કરતાં)
∴ 9x = 105 – 90x
∴ 9x + 90x = 105 (∵ -90xને ડો.બા. લઈ જતાં)
∴ 99x = 105
∴ 99x99=10599 (∵ બંને બાજુ 99 વડે ભાગતા)
∴ x = 3533

પ્રશ્ન ૩.  zz+15=49

zz+15=49
∴ z(9) = 3(z + 15) (∵ ચોકડી ગુણાકાર)
∴ 9z – 4z = 60
∴ 9z – 4z = 60 (∵ 4zને ડો.બા. લઈ જતાં)
∴ 5z = 60
∴ z = 605 (∵ બંને બાજુ 5 વડે ભાગતાં)
∴ z = 12

પ્રશ્ન 4.  3y+42−6y=−25

3y+42−6y=−25
∴ 5(3y + 4) = -2(2 – 6y) (∵ ચોકડી ગુણાકાર કરતાં)
∴ 15y + 20 = -4 + 12y
∴ 15y – 12y = – 4 – 20 (∵ 20ને જ.બા. અને 12yને ડા.બા. લઈ જતાં)
∴ 3y = -24
∴ y = −243 (∵ બંને બાજુ 3 વડે ભાગતાં)
y = – 8

પ્રશ્ન 5.  7y+4y+2=−43

7y+4y+2=−43
∴ 3(7y + 4) = -4(y + 2) (∵ ચોકડી ગુણાકાર કરતાં)
∴ 21+ 12 = – 4y – 8
∴ 21y + 4y = – 8 – 12 (∵ 12ને જ.બા. અને -4ને ડા.બા. લઈ જતાં)
∴ 25y = -20
∴ y = −2025 (∵ બંને બાજુ 25 વડે ભાગતાં)
∴ y = −45

પ્રશ્ન 6. હરિ અને હેરીની હાલની ઉંમરનો ગુણોત્તર 5 : 7 છે. 4 વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર ૩ : 4 હશે, તો તેમની હાલની ઉંમર શોધો.


હરિ અને હૈરીની હાલની ઉંમરનો ગુણોત્તર 5: 7 છે.
∴ ધારો કે, હરિની હાલની ઉંમર 5x છે.
અને હૈરીની હાલની ઉંમર 7x છે.
4 વર્ષ પછી હરિની ઉંમર = (5x + 4) વર્ષ
4 વર્ષ પછી પૅરીની ઉંમર = (7x + 4) વર્ષ
4 વર્ષ પછી હરિની ઉંમર અને હૈરીની ઉંમરનો ગુણોત્તર ૩ : 4 છે.
∴ (5x + 4) : (7x + 4) = 3 : 4
∴ 5x+47x+4=34
∴ 4(5x + 4) = 3(7x + 4) (∵ ચોકડી ગુણાકાર કરતાં)
∴ 20x + 18 = 21x + 12
∴ 20 – 21x = 12 – 16 (∵ 21ને ડાબા અને 16ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ -x = -4
∴ x = 4. (∵ બંને બાજુ (-1) વડે ગુણતા)
∴ હરિની હાલની ઉંમર = 5x = 5 × 4 = 20 વર્ષ અને
હેરીની હાલની ઉંમર = 7x = 7 × 4 = 28 વર્ષ
આમ, હરિની હાલની ઉંમર 20 વર્ષ અને હરીની હાલની ઉંમર 28 વર્ષ છે.

પ્રશ્ન 7. એક અપૂર્ણાકનો છેદ તેના અંશ કરતાં 8 વધારે છે. જો તેના અંશમાં 17 ઉમેરવામાં આવે અને છેદમાંથી 1 બાદ કરવામાં આવે, તો મળતો નવો અપૂર્ણાક 32 હોય, તો મૂળ અપૂર્ણાંક શોધો.


ધારો કે, અપૂર્ણાકનો અંશ x છે.
અપૂર્ણાકનો છેદ એ અંશ કરતાં 8 વધારે છે.
∴ અપૂર્ણાકનો છેદ x + 8 છે.
હવે, અપૂર્ણાના અંશમાં 17 ઉમેરતાં નવો અંશ x + 17 થાય.
અને અપૂર્ણાકના છેદમાંથી 1 બાદ કરતાં નવો છેદ x + 8 – 1 એટલે કે x + 7 થાય.
∴ નવો અપૂર્ણાંક x+17x+7 બને.
પણ રકમ પ્રમાણે આ અપૂર્ણાંક 32 છે.
∴ x+17x+7 = 32
∴ 2(x + 17) = 3(x + 7) (∵ ચોકડી ગુણાકાર)
∴ 2x + 34 = 3x + 21
∴ 2x – 3x = 21 – 34 (∵ 34ને જ.બા અને 3xને ડાબા. લઈ જતાં)
∴ -x = – 13
∴ x = 13 (∵ બંને બાજુ (-1) વડે ગુણતાં)
∴ અપૂર્ણાકનો અંશ = x = 13 અને છેદ = x + 8 = 13 + 8 = 21
∴ અપૂર્ણાંક 1321 છે.
આમ, મૂળ અપૂર્ણાંક 1321 છે.

સ્વાધ્યાય 2.5