CHAPTER 6 - વર્ગ અને વર્ગમૂળ

 સ્વાધ્યાય 6.1

1. નીચે આપેલ સંખ્યાઓના વર્ગ કરવાથી એકમનો અંક શું મળશે?

પ્રશ્ન (i). 81
ઉત્તરઃ 81નો એકમનો અંક 1 છે અને 1 × 1 = 1
∴ (81)2 સંખ્યાનો એકમનો અંક 1 છે.

પ્રશ્ન (ii). 272
ઉત્તરઃ 272નો એકમનો અંક 2 છે અને 2 × 2 = 4
∴ (272)2 સંખ્યાનો એકમનો અંક 4 છે.

પ્રશ્ન (iii). 799
ઉત્તરઃ 799નો એકમનો અંક 9 છે અને 9 × 9 = 81
∴ (799)2 સંખ્યાનો એકમનો અંક 1 છે.

પ્રશ્ન (iv). 3853
ઉત્તરઃ 3853નો એકમનો અંક 3 છે અને 3 × 3 = 9
∴ (3853)2 સંખ્યાનો એકમનો અંક 9 છે.

પ્રશ્ન (v). 1234
ઉત્તરઃ 1234નો એકમનો અંક 4 છે અને 4 × 4 = 16
∴ (1234)2 સંખ્યાનો એકમનો અંક 6 છે.

પ્રશ્ન (vi). 26387
ઉત્તરઃ 26387નો એકમનો અંક 7 છે અને 7 × 7 = 49
∴ (26387)2 સંખ્યાનો એકમનો અંક 9 છે.

પ્રશ્ન (vii). 52698
ઉત્તરઃ 52698નો એકમનો અંક 8 છે અને 8 × 8 = 64
∴ (52698)2 સંખ્યાનો એકમનો અંક 4 છે.

પ્રશ્ન (viii). 99980
ઉત્તરઃ 99880નો એકમનો અંક 0 છે અને 0 × 0 = 0
∴ (99880)2 સંખ્યાનો એકમનો અંક 0 છે.

પ્રશ્ન (ix). 12796
ઉત્તરઃ 12796નો એકમનો અંક 6 છે અને 6 × 6 = 36
∴ (12796)2 સંખ્યાનો એકમનો અંક 6 છે.

પ્રશ્ન (x). 55555
ઉત્તરઃ 55555નો એકમનો અંક 5 છે અને 5 × 5 = 25
∴ (55555)2 સંખ્યાનો એકમનો અંક 5 છે.

2. નીચેની સંખ્યાઓ માટે સ્પષ્ટ છે કે તે પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ નથી. કારણ સહ જણાવો.

(i). 1057
ઉત્તરઃ 1057નો એકમનો અંક 7 છે, જે 0, 1, 4, 5, 6 કે 9માંનો નથી.
∴ 1057 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.

(ii). 23453
ઉત્તરઃ 23453નો એકમનો અંક ૩ છે, જે 0, 1, 4, 5, 6 કે 9માનો નથી.
∴ 23453 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.

(iii). 7928
ઉત્તરઃ 7928નો એકમનો અંક 8 છે, જે 0, 1, 4, 5, 6 કે 9માંનો નથી.
∴ 7928 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.

(iv). 222222
ઉત્તરઃ 222222નો એકમનો અંક 2 છે, જે 0, 1, 4, 5, 6 કે 9માંનો નથી.
∴ 222222 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.

(v). 64000
ઉત્તરઃ 64000માં શૂન્યની સંખ્યા એકી છે.
(∵ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યામાં શૂન્યની સંખ્યા બેકી હોય.)
∴ 64000 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.

(vi). 89722
ઉત્તરઃ 89722નો એકમનો અંક 2 છે, જે 0, 1, 4, 5, 6 કે 9માંનો નથી.
∴ 89722 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.

(vii). 222000
ઉત્તરઃ 222000માં શૂન્યની સંખ્યા એકી છે.
(∵ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યામાં શૂન્યની સંખ્યા બેકી હોય.)
∴ 222000 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.

(viii). 505050
ઉત્તરઃ 505050માં શૂન્યની સંખ્યા એકી છે.
(∵ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યામાં શૂન્યની સંખ્યા બેકી હોય.)
505050 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.

3. નીચે આપેલી સંખ્યાઓમાંથી કઈ સંખ્યાઓનો વર્ગ કરતાં મળતી સંખ્યા એકી સંખ્યા હશે?
[નોંધઃ એકી સંખ્યાનો વર્ગ એકી સંખ્યા હોય અને બેકી સંખ્યાનો વર્ગ બેકી સંખ્યા હોય.]

(i). 431
ઉત્તરઃ 431 એ એકી સંખ્યા છે. તેથી (431)2 એ એકી સંખ્યા છે.

(ii). 2826
ઉત્તરઃ 2826 એ બેકી સંખ્યા છે. તેથી (2826)2 એ બેકી સંખ્યા છે.

(iii). 7779
ઉત્તરઃ 7779 એ એકી સંખ્યા છે. તેથી (7779)2 એ એકી સંખ્યા છે.

(iv). 82004
ઉત્તરઃ 82004 એ બેકી સંખ્યા છે. તેથી (82004)2 એ બેકી સંખ્યા છે.

4. નીચેની પૅટર્નમાંથી ખૂટતી સંખ્યાઓ જણાવોઃ

ઉત્તરઃ
ઉપરનો નમૂનો જોતાં તેમાં ખૂટતી વિગતો નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય:

5. નીચે આપેલી પૅટર્નમાં ખૂટતી સંખ્યાઓ જણાવોઃ

ઉત્તરઃ
ઉપરનો નમૂનો જોતાં તેમાં ખૂટતી વિગતો નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય:

6. નીચેની રીત મુજબ ખૂટતી સંખ્યાઓ શોધોઃ
12 + 22 + 22 = 32
22 + 32 + 62 = 72
32 + 42 + 122 = 132
42 + 52 + ……2 = 212
52 + ……2 + 302 = 312
62 + 72 + ……2 = ……2

ઉત્તરઃ
પ્રશ્નમાં આપેલ ખૂટતી સંખ્યાઓ નીચે પ્રમાણે છે:
12 + 22 + 22 = 32
22 + 32 + 62 = 72
32 + 42 + 122 = 132
42 + 52 + 202 = 212
52 + 62 + 302 = 312
62 + 72 + 422 = 432

7. સરવાળાની ક્રિયા વિના સરવાળો મેળવો:

(i). 1 + 3 + 5 +7 +9
ઉત્તરઃ પહેલી પાંચ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો = 52 = 25

(ii). 1 + 3 + 8 + 7 + 9 + 10 + 18 + 15 + 17 + 19
ઉત્તરઃ પહેલી દસ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો = 102 = 100

(iii). 1 + 3 + 5 + 7+ 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23
ઉત્તરઃ પહેલી બાર ક્રમિક એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો = 122 = 144

8.

(iv). 49ને 7 એકી સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવો.
ઉત્તરઃ 49 = 72 = પહેલી સાત ક્રમિક એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો
∴ 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

(v). 121ને 11 એકી સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવો.
ઉત્તરઃ 121 = 112 = પહેલી અગિયાર ક્રિમિક એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો
∴ 121 = 1 + 3+ 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21

9. નીચે આપેલી સંખ્યાઓના વર્ગો વચ્ચે કેટલી સંખ્યાઓ આવશે તે જણાવો?
નોંધઃ સંખ્યા n અને n + 1 હોય, તો n2 અને (n + 1)2 વચ્ચે 2n પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.]

(i). 12 અને 13
ઉત્તરઃ 122 અને 132 વચ્ચેની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ = 2 × 12 = 24

(ii). 25 અને 26
ઉત્તરઃ 252 અને 262 વચ્ચેની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ = 2 × 25 = 50

(iii). 99 અને 100
ઉત્તરઃ 992 અને 1002 વચ્ચેની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ = 2 × 99 = 198

સ્વાધ્યાય 6.2

1. નીચે આપેલી સંખ્યાઓના વર્ગ શોધોઃ
અહીં બધા દાખલામાં (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:

(i). 32
ઉત્તરઃ (32)2 = (30 + 2)2
= 302 + 2 (30) (2) + (2)2
= 900 + 120 + 4
= 1024

(ii). 35
ઉત્તરઃ (35)2 = (30 + 5)
= (30) + 2 (30) (5) + (5)2
= 900 + 300 + 25
= 1200 + 25
= 1225

(iii). 86
ઉત્તરઃ (86)2 = (80 + 6)2
= (80)2 + 2 (80) (6) + (6)2
= 6400 + 960 + 36
= 7396

(iv).93

ઉત્તરઃ (93)2 = (90 + 3)2

= (90)2 + 2 (90) (3) + (3)2
= 8100 + 540 + 9
= 8849

(v). 71
ઉત્તરઃ (71)2 = (70 + 1)2
= (70)2 + 2 (70) (1) + (1)2
= 4900 + 140 + 1
= 5041

(vi). 46
ઉત્તરઃ (46)2 = (40 + 6)2
= (40)2 + 2 (40) (6) + (6)2
= 1600 + 480 + 36
= 2116

આ રીતે પણ વર્ગ મેળવાય : (જેનો એકમનો અંક 5 હોય તેને જ લાગુ પડે.)
(ii) (35)2 = 3 × (૩ + 1) × 100 + 25
= 3 × (4) × 100 + 25
= 1200 + 25
= 1225

2. નીચે આપેલી સંખ્યા ધરાવતી પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી લખો:

 

(i). 6
ઉત્તરઃ
અહીં 2n = 6
∴ n = 3
હવે, n2 – 1 = 32 – 1
= 9 – 1
= 8
અને n2 + 1 = 32 + 1
= 9 + 1
= 10
આમ, માગેલી પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી 6, 8, 10 છે.

(ii). 14
ઉત્તરઃ
2n = 14
∴ n = 7
હવે, n2 – 1
= 72 – 1
= 49 – 1
= 48
અને n2 + 1
= 72 + 1
= 49 + 1
= 50
આમ, માગેલી પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી 14, 48, 50 છે.

(iii). 16
ઉત્તરઃ
અહીં 2n = 16
∴ n = 8
હવે, n2 – 1
= 82 – 1
= 64 – 1
= 63
અને n2 + 1
= 82 + 1
= 64 + 1
= 65
આમ, માગેલી પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી 16, 63, 65 છે.

(iv).18

ઉત્તરઃ

અહીં 2n = 18
∴ n = 9
હવે, n2 – 1
= 92 – 1
= 81 – 1
= 80
અને n2 + 1
= 92 + 1
= 81 + 1
= 82
આમ, માગેલી પાયથાગોરીઅન ત્રિપુટી 18, 80, 82 છે.

સ્વાધ્યાય 6.3

1. નીચે આપેલ સંખ્યાઓના વર્ગમૂળમાં એકમનો અંક કયો હશે?

(i). 9801
ઉત્તરઃ
9801ના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 1 અથવા 9 હોય.
કારણ: 1 × 1 = 1 અને 9 × 9 = 81

(ii). 99956
ઉત્તરઃ
99856ના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 4 અથવા 6 હોય.
કારણ: 4 × 4 = 16 અને 6 × 6 = 36

(iii). 998001
ઉત્તરઃ
998001ના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 1 અથવા 9 હોય.
કારણઃ 1 × 1 = 1 અને 9 × 9 = 81

(iv). 657666025
ઉત્તરઃ
657666025ના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 5 હોય.
કારણ : 5 × 5 = 25

2. કોઈ પણ પ્રકારની ગણતરી કર્યા વિના જ જણાવો કે નીચેના પૈકી કઈ સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ નથી?
(i) 153
(ii) 257
(iii) 408
(iv) 441
ઉત્તરઃ
[નોંધઃ જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 0, 1, 4, 5, 6 અને 9 હોય, તે જ સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોઈ શકે. આથી જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 2, 3. 7 કે 8 હોય, તે કદાપિ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા ન હોય.]
(i) 153 : આ ચોક્કસ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી. જુઓ એકમનો અંક 3 છે.
(ii) 257 : આ ચોક્કસ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી. જુઓ એકમનો અંક 7 છે.
(ii) 408 : આ ચોક્કસ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી. જુઓ એકમનો અંક 8 છે.
(iv) 441 : પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોઈ શકે. જુઓ એકમનો અંક 1 છે.
441−−−√ = 21 છે.

3. પુનરાવર્તિત બાદબાકીની રીતે 100 અને 169નું વર્ગમૂળ શોધો.

(i). 100
ઉત્તરઃ
100 – 1 = 99
99 – 3 = 96
96 – 5 = 91
91 – 7 = 84
84 – 9 = 75
75 – 11 = 64
64 – 13 = 51
51 – 15 = 36
36 – 17 = 19
19 – 19 = 0
∴ 100 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
∴ 100−−−√ = 10

(ii). 169
ઉત્તરઃ
169 – 1 = 168
168 – 3 = 165
165 – 5 = 160
160 – 7 = 153
153 – 9 = 144
144 – 11 = 133
133 – 13 = 120
120 – 15 = 105
105 – 17 = 88
88 – 19 = 69
69 – 21 = 48
48 – 23 = 25
25 – 25 = 0
∴ 169 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
∴ 169−−−√ = 13

4. નીચે આપેલી સંખ્યાઓનું વર્ગમૂળ અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતે શોધોઃ

(i). 729

ઉત્તરઃ

729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= 32 × 32 × 32
∴ 729−−−√ = 3 × 3 × 3
= 27

(ii). 400
ઉત્તરઃ

400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
= 22 × 22 × 52
∴ 400−−−√   = 2 × 2 × 5
= 20

(iii).1764
ઉત્તરઃ

1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
= 22 × 32 × 72
∴ 1764−−−−√      = 2 × 3 × 7
= 42

(iv). 4096
ઉત્તરઃ

4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 22 × 22 × 22 × 22 × 22 × 22
∴ 4096−−−−√    = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 64

(v). 7744
ઉત્તરઃ

7744 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11 × 11
= 22 × 22 × 22 × 112
∴ 7744−−−−√    = 2 × 2 × 2 × 11
= 88

(vi). 9604
ઉત્તરઃ

9604 = 2 × 2 × 7 × 7 × 7 × 7
= 22 × 72 × 72
∴ 9604−−−−√    = 2 × 7 × 7
= 98

(vii). 5929
ઉત્તરઃ

5929 = 7 × 7 × 11 × 11
= 72 × 112
∴ 5929−−−−√    = 7 × 11
= 77

(viii). 9216
ઉત્તરઃ

9216 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 22 × 22 × 22 × 22 × 22 × 32
∴ 9216−−−−√    = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 96

(ix). 529
ઉત્તરઃ

529 = 23 × 23
= 232
∴ 529−−−√    = 23

(x). 8100
ઉત્તરઃ

8100 =2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5
= 22 × 32 × 32 × 52
∴ 8100−−−−√    = 2 × 3 × 3 × 5
= 90

5. નીચે આપેલી દરેક સંખ્યા માટે નાનામાં નાની એવી સંખ્યા શોધો કે જેના વડે ગુણવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય. ઉપરાંત મળતી આ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ પણ શોધો:

(i). 252
ઉત્તરઃ

252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 7ની જોડ બનતી નથી.
∴ [252] × 7 = [2 × 2 × 3 × 3 × 7] × 7
∴ 1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
= 22 × 32 × 72
∴ 1764−−−−√    = 2 × 3 × 7 = 42
આમ, 252ને નાનામાં નાની સંખ્યા 7 વડે ગુણતાં ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

(ii). 180
ઉત્તરઃ

180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 5ની જોડ બનતી નથી.
∴ [180] × 5 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5] × 5
∴ 900 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 22 × 32 × 52
∴ 1764−−−−√    = 2 × 3 × 5 = 30
આમ, 180ને નાનામાં નાની સંખ્યા 5 વડે ગુણતાં ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

(iii). 1008
ઉત્તરઃ

1008 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 7ની જોડ બનતી નથી.
∴ [1008] × 7 = [2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7] × 7
∴ 7056 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
= 22 × 22 × 32 × 72
∴ 7056−−−−√    =  2 × 2 × 3 × 7 = 84
આમ, 1008ને નાનામાં નાની સંખ્યા 7 વડે ગુણતાં ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

(iv).2028
ઉત્તરઃ

2028 = 2 × 2 × 3 × 13 × 13
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3ની જોડ બનતી નથી.
∴ [2028] × 3 = [2 × 2 × 3 × 13 × 13] × 3
∴ 6084 = 2 × 2 × 3 × 3 × 13 × 13
= 22 × 32 × 132
∴ 6084    −−−−√ (iv). 2028

ઉત્તરઃ

2028 = 2 × 2 × 3 × 13 × 13
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3ની જોડ બનતી નથી.
∴ [2028] × 3 = [2 × 2 × 3 × 13 × 13] × 3
∴ 6084 = 2 × 2 × 3 × 3 × 13 × 13
= 22 × 32 × 132
∴ 6084−−−−√    = 2 × 3 × 18 = 78
આમ, 2028ને નાનામાં નાની સંખ્યા ૩ વડે ગુણતાં ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

(v).1458
ઉત્તરઃ

1458 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 2ની જોડ બનતી નથી.
∴ [1458] × 2 = [2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3] × 2
∴ 2916 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= 22 × 32 × 32 × 32
∴ 2916−−−−√    = 2 × 3 × 3 × 3 = 54
આમ, 1458ને નાનામાં નાની સંખ્યા 2 વડે ગુણતાં ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

 (vi). 768
ઉત્તરઃ

768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3ની જોડ બનતી નથી.
∴ [768] × 3 = [2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3] × 3
∴ 2304 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 22 × 22 × 22 × 22 × 32
∴ 2304−−−−√    = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48
આમ, 768ને નાનામાં નાની સંખ્યા ૩ વડે ગુણતાં ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

6. નીચે આપેલી દરેક સંખ્યા માટે નાનામાં નાની એવી સંખ્યા શોધો કે જેના વડે ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય. ઉપરાંત મળેલી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ પણ શોધોઃ

(i). 252
ઉત્તરઃ

252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 7ની જોડ બનતી નથી.
∴ આપેલી સંખ્યાને 7 વડે ભાગવી પડે.
∴ [252] ÷ 7 = [2 × 2 × 3 × 3 × 7] ÷ 7
∴ 36 = 2 × 2 × 3 × 3
= 22 × 32
∴ 36−−√    = 2 × 3 = 6
આમ, 252ને નાનામાં નાની સંખ્યા 7 વડે ભાગતાં ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

(ii).2925
ઉત્તરઃ

2925 = 3 × 3 × 5 × 5 × 13
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 13ની જોડ બનતી નથી.
∴ આપેલી સંખ્યાને 13 વડે ભાગવી પડે.
∴ [2925] ÷ 13 = [3 × 3 × 5 × 5 × 13] ÷ 13
∴ 225 = 3 × 3 × 5 × 5
= 32 × 52
∴ 225−−−√   = 3 × 5 = 15
આમ, 2925ને નાનામાં નાની સંખ્યા 13 વડે ભાગતાં ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

(iii). 396
ઉત્તરઃ

396 = 2 × 2 × 3 × 3 × 11
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 11ની જોડ બનતી નથી.
∴ આપેલી સંખ્યાને 11 વડે ભાગવી પડે.
∴ [396] ÷ 11 = [2 × 2 × 3 × 3 × 11] ÷ 11
36 = 2 × 2 × 3 × 3
= 22 × 32
∴ 36−−√   = 2 × 3 = 6
આમ, 396ને નાનામાં નાની સંખ્યા 11 વડે ભાગતાં ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

(iv). 2645
ઉત્તરઃ

2645 = 5 × 23 × 23
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ ડની જોડ બનતી નથી.
∴ આપેલી સંખ્યાને 5 વડે ભાગવી પડે.
∴ [2645] ÷ 5 = [5 × 23 × 23] ÷ 5
529 = 23 × 23 = 232
∴ 529−−−√    = 23
આમ, 2645ને નાનામાં નાની સંખ્યા 5 વડે ભાગતાં ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

(v). 2800
ઉત્તરઃ

2800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 7ની જોડ બનતી નથી.
∴ આપેલી સંખ્યાને 7 વડે ભાગવી પડે.
∴ [2800] ÷ 7 = [2 x 2 = 2 x 2 x 5 x 5 X 7] ÷ 7
∴ 400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
= 22 × 22 × 52
∴ 400−−−√      = 2 × 2 × 5 = 20
આમ, 2800ને નાનામાં નાની સંખ્યા 7 વડે ભાગતાં ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

vi). 1620
ઉત્તરઃ

1620 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 5ની જોડ બનતી નથી.
∴ આપેલી સંખ્યાને 5 વડે ભાગવી પડે.
∴ [1620] ÷ 5 = [2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5] ÷ 5
∴ 324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
= 22 × 32 × 32
∴ 324−−−√   = 2 × 3 × 3 = 18
આમ, 1620 ને નાનામાં નાની સંખ્યા 5 વડે ભાગતાં ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

7. એક નિશાળના ધોરણ 8ના તમામ વિદ્યાર્થીઓ મળીને ₹ 2401 પ્રધાનમંત્રી રાષ્ટ્રીય રાહત ફંડમાં ફાળો આપે છે. વર્ગમાં જેટલી સંખ્યા છે તેટલા રૂપિયા દરેક વિદ્યાર્થી દાનમાં આપે છે, તો વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા કેટલી હશે?
ઉત્તરઃ

8. એક બગીચામાં 2025 છોડ એવી રીતે રોપેલ છે કે પ્રત્યેક હારમાં રોપેલા છોડની સંખ્યા કુલ હારની સંખ્યા બરાબર થાય, તો પ્રત્યેક હારમાં રોપેલ છોડ અને કુલ હારની સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ

9.  4, 9 અને 10 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી નાનામાં નાની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા શોધો.

ઉત્તરઃ

આપણે જાણીએ છીએ કે સંખ્યાનો લ.સા.અ. એ એવી સંખ્યા છે કે જેને તેના બધા જ અવયવો વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય.
આપણે 4, 9 અને 10નો લ.સા.અ. શોધીએ.
બાજુની રીત પ્રમાણે 4, 9 અને 10નો લ.સા.અ.

= 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180
હવે, 180 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી. કારણ કે, તેના
અવિભાજ્ય અવયવોમાં 5ની જોડ બનતી નથી.
તેથી 180ને 5 વડે ગુણવા પડે.
∴ [180] × 5 = [2 × 2 × 3 × 3 × 5] × 5
∴ 900 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
હવે, 900ના બધા અવિભાજ્ય અવયવોની જોડ બને છે.
∴ 900 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
આમ, 900 એ માગ્યા મુજબની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.

10. 8, 15 અને 20 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી નાનામાં નાની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા શોધો.

ઉત્તરઃ

આપણે જાણીએ છીએ કે સંખ્યાનો લ.સા.અ. એ એવી સંખ્યા છે કે જેને તેના બધા જ અવયવો વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય.
આપણે 8, 15 અને 20નો લ.સા.અ. શોધીએ.
બાજુની રીત પ્રમાણે 8, 15 અને 20નો લ.સા.અ.

= 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120
હવે, 120 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી કારણ કે, 2, 3 અને 5ની જોડ થતી નથી.
તેથી 120ને 2 × 3 × 5 વડે ગુણવા પડે.
∴ [120] × 2 × 3 × 5 = [2 × 2 × 2 × 3 × 5] × 2 × 3 × 5
∴ 3600 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 2 × 3 × 5
∴ 3600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
હવે, 3600ના બધા અવયવોની જોડ બને છે.
∴ 3600 પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
આમ, 3600 એ માગ્યા મુજબની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.

સ્વાધ્યાય 6.4

1.નીચે આપેલી સંખ્યાઓનું ભાગાકારની રીતે વર્ગમૂળ શોધોઃ

(i).2304
ઉત્તરઃ

(ii).4489
ઉત્તરઃ

(iii). 3481
ઉત્તરઃ

(iv). 529
ઉત્તરઃ

(v). 3249
ઉત્તરઃ

(vi). 1369
ઉત્તરઃ

 (vii). 5776
ઉત્તરઃ

(viii). 7921
ઉત્તરઃ

(ix). 576
ઉત્તરઃ

(x). 1024
ઉત્તરઃ 

(xi). 3136
ઉત્તરઃ

(xii). 900
ઉત્તરઃ

2. નીચે આપેલી સંખ્યાના વર્ગમૂળ તરીકે આવતી સંખ્યામાં કેટલા અંકો હશે તે જણાવો (કોઈ ગણતરી કર્યા વગર જણાવો.)

(i). 64
ઉત્તરઃ
64માં અંકોની સંખ્યા = 2
∴ n = 2 જે બેકી સંખ્યા છે.
∴ 64ના વર્ગમૂળની સંખ્યામાં અંકોની સંખ્યા = n2=22 = 1

(ii). 144
ઉત્તરઃ
144માં અંકોની સંખ્યા = 3
∴ n = 3 જે એકી સંખ્યા છે.
∴ 144ના વર્ગમૂળની સંખ્યામાં અંકોની સંખ્યા = n+12
= 3+12
= 42
= 2

(iii). 4489
ઉત્તરઃ
4489માં અંકોની સંખ્યા = 4
∴ n = 4 જે બેકી સંખ્યા છે.
∴ 4489ના વર્ગમૂળની સંખ્યામાં અંકોની સંખ્યા = n2=42 = 2

(iv). 27225
ઉત્તરઃ
27225માં અંકોની સંખ્યા = 5
∴ n = 5 જે એકી સંખ્યા છે.
∴ 27225ના વર્ગમૂળની સંખ્યામાં અંકોની સંખ્યા = n+12
= 5+12
= 62
= 3

(v). 390625
ઉત્તરઃ
390625માં અંકોની સંખ્યા = 6
∴ n = 6 જે બેકી સંખ્યા છે.
∴ 390625ના વર્ગમૂળની સંખ્યામાં અંકોની સંખ્યા = n2=62 = 3

3. નીચે આપેલ દશાંશ સંખ્યાઓનું વર્ગમૂળ શોધોઃ

(i). 2.56
ઉત્તરઃ

2.56માં દશાંશ-સ્થળ જ.બા.થી બે અંકો આગળ છે.
∴ વર્ગમૂળમાં દશાંશ-સ્થળ જ.બા.થી એક અંક આગળ આવે.

(ii) . 7.29
ઉત્તરઃ

7.29માં દશાંશ-સ્થળ જ.બા.થી બે અંકો આગળ છે.
∴ વર્ગમૂળમાં દશાંશ-સ્થળ જ.બા.થી એક અંક આગળ આવે.

(iii). 51.84
ઉત્તરઃ

51.84માં દશાંશ-સ્થળ જ.બા.થી બે અંકો આગળ છે.
∴ વર્ગમૂળમાં દશાંશ-સ્થળ જ.બા.થી એક અંક આગળ આવે.

(iv). 42.25
ઉત્તરઃ

42.25માં દશાંશ-સ્થળ જ.બા.થી બે અંકો આગળ છે.
∴ વર્ગમૂળમાં દશાંશ-સ્થળ જ.બા.થી એક અંક આગળ આવે.

(v). 31.86
ઉત્તરઃ

31.36માં દશાંશ-સ્થળ જબા થી બે અંકો આગળ છે.
∴ વર્ગમૂળમાં દશાંશ-સ્થળ જ.બા.થી એક અંક આગળ આવે.

4. નીચે આપેલી સંખ્યાઓ માટે એવી નાનામાં નાની સંખ્યા શોધો કે જેની આપેલ સંખ્યામાંથી બાદબાકી કરતાં મળતી નવી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય. ઉપરાંત આ નવી સંખ્યાનું વર્ગમૂળ પણ શોધોઃ

(i). 402
ઉત્તરઃ

20 ભાગાકારની રીતે 402નું વર્ગમૂળ શોધતાં 2 શેષ વધે છે.
∴ 402માંથી 2 બાદ કરતાં મળતી સંખ્યા (400) એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોય.
આમ, 402 – 2 = 400 અને 400−−−√   = 20
402માંથી નાનામાં નાની સંખ્યા 2 બાદ કરતાં પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા મળે.

(ii). 1989
ઉત્તરઃ

ભાગાકારની રીતે 1989નું વર્ગમૂળ શોધતાં 53 શેષ વધે છે.
∴ 1989માંથી 53 બાદ કરતાં મળતી સંખ્યા (1936) એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોય.
આમ, 1989 – 53 = 1936 અને
1936−−−−√   = 44
1989માંથી નાનામાં નાની સંખ્યા 53 બાદ કરતાં પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા મળે.

(iii).3250
ઉત્તરઃ

ભાગાકારની રીતે 3250નું વર્ગમૂળ શોધતાં 1 શેષ વધે છે.
∴ 3250માંથી 1 બાદ કરતાં મળતી સંખ્યા (3249) એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોય.
આમ, 3250 – 1 = 3249 અને
3249−−−−√   = 57
3250માંથી નાનામાં નાની સંખ્યા 1 બાદ કરતાં પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા મળે.

(iv). 825
ઉત્તરઃ

ભાગાકારની રીતે 825નું વર્ગમૂળ શોધતાં 41 શેષ વધે છે.
∴ 825માંથી 41 બાદ કરતાં મળતી સંખ્યા (784) એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોય.
આમ, 825 – 41 = 784 અને 784−−−√   = 28
825માંથી નાનામાં નાની સંખ્યા 41 બાદ કરતાં પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા મળે.

(v).4000
ઉત્તરઃ

ભાગાકારની રીતે 4000નું વર્ગમૂળ શોધતાં 31 શેષ વધે છે.
∴ 4000માંથી 31 બાદ કરતાં મળતી સંખ્યા (3969) એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોય.
આમ, 4000 – 31 = 3969 અને
3969−−−−√   = 63
4000માંથી નાનામાં નાની સંખ્યા 31 બાદ કરતાં પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા મળે.

5. નીચે આપેલી સંખ્યાઓ માટે એવી નાનામાં નાની સંખ્યા શોધો કે જેનો સરવાળો આપેલ સંખ્યા સાથે કરવાથી મળતી નવી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય. ઉપરાંત આ નવી સંખ્યાનું વર્ગમૂળ પણ શોધોઃ

(i). 525
ઉત્તરઃ

ભાગાકારની રીતે 525નું વર્ગમૂળ શોધતાં 41 શેષ વધે છે.
હવે, 525 > 222
22ની પછીની સંખ્યા 23 છે. 232 = 529
આમ, ઉમેરવાની સંખ્યા = 232 – 525 = 529 – 525 = 4
હવે, 525 + 4 = 529 અને 529−−−√   = 23
આમ, 525માં નાનામાં નાની સંખ્યા 4 ઉમેરતાં પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા મળે.

(ii). 1750
ઉત્તરઃ

ભાગાકારની રીતે 1750નું વર્ગમૂળ શોધતાં 69 શેષ વધે છે.
હવે, 1750 > 412
41ની પછીની સંખ્યા 42 છે. 422 = 1764
આમ, ઉમેરવાની સંખ્યા = 422 – 1750
= 1764 – 1750
= 14
હવે, 1750 + 14 = 1764 અને
1764−−−−√    = 42
આમ, 1750માં નાનામાં નાની સંખ્યા 14 ઉમેરતાં પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા મળે.

(iii).252
ઉત્તરઃ

ભાગાકારની રીતે 252નું વર્ગમૂળ શોધતાં 27 શેષ વધે છે.
હવે, 252 > 152
15ની પછીની સંખ્યા 16 છે. 162 = 256
આમ, ઉમેરવાની સંખ્યા = 162 – 252
= 256 – 252
= 4
હવે, 252 + 4 = 256 અને 256−−−√   = 16
આમ, 252માં નાનામાં નાની સંખ્યા 4 ઉમેરતાં પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા મળે.

(iv). 1825
ઉત્તરઃ

ભાગાકારની રીતે 1825નું વર્ગમૂળ શોધતાં 61 શેષ વધે છે.
હવે, 1825 > 422
42ની પછીની સંખ્યા 43 છે. 432 = 1849
આમ, ઉમેરવાની સંખ્યા = 432 – 1825
= 1849 – 1825
= 24
હવે, 1825 + 24 = 1849 અને
1849−−−−√   = 43
આમ, 1825માં નાનામાં નાની સંખ્યા 24 ઉમેરતાં પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા મળે.

(v). 6412
ઉત્તરઃ

ભાગાકારની રીતે 6412નું વર્ગમૂળ શોધતાં 12 શેષ વધે છે.
હવે, 6412 > 802
80ની પછીની સંખ્યા 81 છે. 812 = 6561
આમ, ઉમેરવાની સંખ્યા = 812 – 6412
= 6561 – 6412
= 149
હવે, 6412 + 149 = 6561 અને
6561−−−−√ = 81
આમ, 6412માં નાનામાં નાની સંખ્યા 149 ઉમેરતાં પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા મળે.

6. 441 મીટર ક્ષેત્રફળવાળા ચોરસની બાજુનું માપ શોધો.
ઉત્તરઃ ધારો કે, ચોરસની બાજુની લંબાઈ x મીટર છે.
હવે, ચોરસનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × લંબાઈ
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ = x × x મીટર2 = x2 મીટર2
હવે, અહીં ચોરસનું ક્ષેત્રફળ 441 મીટર2 આપેલ છે.
∴ x2 = 441
∴x = 441−−−√
∴ x = 21 મીટર

આમ, ચોરસની બાજુનું માપ 21 મીટર છે.

7.કાટકોણ ત્રિકોણ ABCમાં, ∠B = 90° છેઃ

 (i). જો AB = 6 સેમી, BC = 8 સેમી, તો AC શોધો.
ઉત્તરઃ
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કાટખૂણાની સામેની બાજુને કર્ણ કહે છે. કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ સૌથી મોટી બાજુ હોય.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે = (કર્ણ)2 = (એક બાજુ)2 + (બીજી બાજુ)2
અહીં, m∠B = 90°, AB = 6 સેમી; BC = 8 સેમી અને AC = ?

ΔABCમાં AC કર્ણ છે.
AC2 = AB2 + BC2
= (6)2 + (8)2
= 36 + 64
= 100
∴ AC = 100−−−√  = 10 સેમી

(ii). જો AC = 13 સેમી, BC = 5 સેમી, તો AB શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, m∠B = 90°, AC = 3 સેમી; BC = 5 સેમી અને AB = ?
ΔABCમાં AC કર્ણ છે.

AC2 = AB2 + BC2
∴ (13)2 = AB2 + (5)2
∴ 169 = AB2 + 25
∴ AB2 = 169 – 25
= 144
∴ AB = 144−−−√
= 12 સેમી

8. એક માળી પાસે 1000 છોડ છે. તે આ છોડને એવી રીતે રોપવા માગે છે કે બગીચામાં હાર અને સ્તંભોની સંખ્યા સમાન મળે, તો માળીને તેના માટે હજુ ઓછામાં ઓછા કેટલા છોડ વધુ જોઈએ?
ઉત્તરઃ
અહીં ઊભા સ્તંભમાં અને આડી હારમાં સરખી સંખ્યામાં છોડ રોપવાના છે.
ધારો કે, ઊભા સ્તંભમાં x છોડ રોપે છે. તેથી આડી હારમાં પણ x છોડ રોપે છે.
કુલ જરૂરી છોડ = x × x = x2
પરંતુ માળી પાસે કુલ 1000 છોડ છે.
∴ x2 = 1000
∴ x = 1000−−−−√
હવે, 1000 એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી. (જઓ 39 શેષ)
(31)2 < 1000

31થી મોટી સંખ્યા 32 છે. 322 = 1024
∴ જરૂરી બીજા છોડ = 1024 – 1000 = 24
આમ, હારમાં અને સ્તંભમાં સરખી સંખ્યામાં છોડ રોપવા બીજા 24 છોડ જોઈશે.

9. એક નિશાળમાં 500 વિદ્યાર્થીઓ છે. પી.ટી.ની કવાયત કરવા માટે તમામ વિદ્યાર્થીઓને એવી રીતે ઊભા રાખ્યા છે કે જેથી હાર અને સ્તંભોની સંખ્યા સમાન રહે, તો નિશાળના કેટલા વિદ્યાર્થીઓ આ ગોઠવણી કરવાથી બહાર રહેશે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આડી હારમાં x વિદ્યાર્થી ઊભા છે, તો ઊભા સ્તંભમાં પણ x વિદ્યાર્થી ઊભા છે.
∴ આડી હાર અને ઊભા સ્તંભમાંના કુલ વિદ્યાર્થી = x × x = x2
વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = 500
∴ x2 = 500
∴ x = 500−−−√
500 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી. (જુઓ શેષ 16)
∴ 500 > 222
∴ 500 > 484
500 – 484 = 16 વિદ્યાર્થી બાકી રહેશે.
આમ, આડી હારમાં અને ઊભા સ્તંભમાં સરખા વિદ્યાર્થી રાખતાં 16 વિદ્યાર્થી બહાર રહેશે.