CHAPTER 7 - ઘન અને ઘનમૂળ

 સ્વાધ્યાય 7.1

1. નીચેનામાંથી કઈ સંખ્યા પૂર્ણઘન નથી?

(i). 216
ઉત્તરઃ

216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
અહીં, 216ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બને છે. કોઈ અવયવ બાકી રહેતો નથી.
∴ 216 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
જુઓ : 216 = 23 × 33

(ii). 128
ઉત્તરઃ

128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
અહીં, 128ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનતી નથી. ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 2 બાકી રહે છે.
∴ 128 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.

(iii). 1000
ઉત્તરઃ

1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
અહીં, 1000ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બને છે. કોઈ અવયવ બાકી રહેતો નથી.
∴ 1000 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
જુઓ : 1000 = 23 × 53

(iv). 100
ઉત્તરઃ

100 = 2 × 2 × 5 × 5
અહીં 100ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડી બનાવતાં એક પણ ત્રિપુટી બનતી નથી.
∴ 100 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.

(v). 46,656
ઉત્તરઃ

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
અહીં 46656ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ ત્રણની જોડ બને છે. કોઈ અવયવ બાકી રહેતો નથી.
∴ 46656 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
જુઓઃ 46656 = 23 × 23 × 33 × 33

2. એવી નાનામાં નાની સંખ્યા શોધો કે જેથી તેને નીચે આપેલ સંખ્યા સાથે ગુણવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણઘન હોયઃ

(i). 243
ઉત્તરઃ

243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3
અહીં 243ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 3 × 3 બાકી રહે છે.
∴ 243 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
હવે, [243] × 3 = [3 × 3 × 3 × 3 × 3] × 3
∴ 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= 33 × 33
હવે, 729 એ પૂર્ણધન સંખ્યા છે.
આમ, 243ને નાનામાં નાની સંખ્યા 3 વડે ગુણતાં તે પૂર્ણઘન બને.

(ii).256
ઉત્તરઃ

256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.
અહીં 256ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 2 × 2 બાકી રહે છે.
∴ 256 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
હવે, [256] × 2
= [2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2] × 2
∴ 512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 23× 23 × 23
હવે, 512 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
આમ, 512ને નાનામાં નાની સંખ્યા 2 વડે ગુણતાં તે પૂર્ણઘન બને.

(iii). 72
ઉત્તરઃ

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
અહીં 72ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 3 × 3 બાકી રહે છે.
∴ 72 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
હવે, [72] × 3 = [2 × 2 × 2 × 3 × 3] × 3
∴ 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
= 23 × 33
હવે, 216 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
આમ, 72ને નાનામાં નાની સંખ્યા 3 વડે ગુણતાં તે પૂર્ણઘન બને.

(iv).675
ઉત્તરઃ

675 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5
અહીં 675ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 5 × 5 બાકી રહે છે.
∴ 675 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
હવે, [675] × 5 = [3 × 3 × 3 × 5 × 5] × 5
∴ 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
= 33 × 53
હવે, 3375 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
આમ, 675ને નાનામાં નાની સંખ્યા 5 વડે ગુણતાં તે પૂર્ણઘન બને.

(v). 100
ઉત્તરઃ

100 = 2 × 2 × 5 × 5
અહીં 100ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડી બનાવતાં એક પણ ત્રિપુટી બનતી નથી.
∴ 100 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
હવે, [100] × 2 × 5 = [2 × 2 × 5 × 5] × 2 × 5
∴ 1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
= 23 × 53
હવે, 1000 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
આમ, 100ને નાનામાં નાની સંખ્યા 2 × 5 એટલે કે 10 વડે ગુણતાં તે પૂર્ણઘન બને.

TO BE CONTINUED... 

બાકીના દાખલા ટૂંક સમય માં મૂકવામાં આવશે.