CHAPTER 8 - રાશિઓની તુલના

સ્વાધ્યાય 8.1 

1. નીચે આપેલ સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર શોધોઃ

(a). સાઈકલની ઝડપ 15 કિમી/ કલાક અને સ્કૂટરની ઝડપ 30 કિમી/ કલાક
ઉત્તરઃ સાઇકલની ઝડપ = 15 કિમી કલાક
સ્કૂટરની ઝડપ = 30 કિમી/ કલાક

(b). 5 મીટર અને 10 કિમી
ઉત્તરઃ બંને વિગતના એકમો સરખા હોવા જોઈએ.
1 કિમી = 1000 મીટર
∴ 10 કિમી = (10 × 1000) મીટર
= 10000 મીટર

(c). 50 પૈસા અને 5 રૂપિયા
ઉત્તરઃ
બંને વિગતના એકમો સરખા હોવા જોઈએ.
₹ 1 = 100 પૈસા
∴ ₹ 5 = 500 પૈસા

2. નીચે આપેલ ગુણોત્તરોનું ટકાવારીમાં રૂપાંતર કરોઃ
નોંધઃ ટકાવારી મેળવવા ગુણોત્તરને 100 વડે ગુણવા પડે.

(a). 3 : 4
ઉત્તરઃ આપેલો ગુણોત્તર = 3 : 4
∴ ટકાવારી = (34 × 100) %
= (3 × 25) %
= 75 %

(b). 2 : 3
ઉત્તરઃ આપેલો ગુણોત્તર = 2 : 3
∴ ટકાવારી = (23 × 100) %
= (2003)
= 66 23%

3. 25 વિદ્યાર્થીઓમાંથી 72 % વિદ્યાર્થીઓ ગણિતમાં રસ લે છે, તો કેટલા વિદ્યાર્થી ગણિતમાં રસ લેતા નથી?
ઉત્તરઃ વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા = 25
ગણિતમાં રસ લેતા વિદ્યાર્થીઓ = 72 %
∴ ગણિતમાં રસ ન લેતા વિદ્યાર્થીઓ = (100 – 72) % = 28 %
∴ ગણિતમાં રસ ન લેતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = 25 × 28100
= 284
= 7
આમ, 7 વિદ્યાર્થીઓ ગણિતમાં રસ લેતા નથી.

4. એક ફૂટબૉલ ટીમ તેમણે રમેલી મૅચમાંથી 10 મૅચ જીતી હતી. જો તેમની જીતેલી મૅચની ટકાવારી 40 % હોય, તો તેઓ કુલ કેટલી મૅચ રમ્યા હશે?
ઉત્તરઃ ફૂટબૉલ ટીમે જીતેલી મૅચ = 10
ધારો કે આ ફૂટબૉલ ટીમે કુલ ૪ મૅચો રમી છે.
∴ xના 40 % = 10
∴ xના 40100 = 10
∴ x = 10 × 10040
∴ x = 25
આમ, ફૂટબૉલ ટીમે કુલ 25 મૅચ રમી છે.

5. જો ચમેલી પાસે તેની રકમના 75 % વાપર્યા પછી ₹ 600 બાકી રહ્યાં હોય, તો તેની પાસે શરૂઆતમાં કુલ કેટલી રકમ હશે?
ઉત્તરઃ ધારો કે ચમેલી પાસે કુલ ₹ x હતા.
ચમેલીએ ખર્ચ કરેલ રકમની ટકાવારી = 75 %
∴ ચમેલી પાસે બાકી વધેલી રકમની ટકાવારી = (100 – 75) % = 25 %
પરંતુ ચમેલી પાસે બાકી વધેલી રકમ ₹ 600 છે. જે કુલ રકમના 25 % છે.
∴ xના 25 % = 600
∴ x × 25100 = 600
∴ x = 600 × 10025
∴ x = 600 × 4
∴ x = 2400
આમ, ચમેલી પાસે શરૂઆતમાં ₹ 2400 હતા.

6. એક શહેરમાં કુલ વ્યક્તિમાંથી 60 % વ્યક્તિઓને ક્રિકેટ, 30 % વ્યક્તિઓને ફૂટબૉલ અને બાકીની વ્યક્તિઓને બીજી રમતો ગમે છે. જો શહેરમાં કુલ 50 લાખ વ્યક્તિઓ હોય, તો પ્રત્યેક રમતમાં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા કેટલી હશે?
ઉત્તરઃ ક્રિકેટની રમત પસંદ કરનાર વ્યક્તિઓ = 60 %
ફૂટબૉલની રમત પસંદ કરનાર વ્યક્તિઓ = 30 %
∴ બીજી રમતો પસંદ કરનાર વ્યક્તિઓ = [100 – (60 + 30)] %
= [100 – 90] % = 10 %
કુલ વ્યક્તિની સંખ્યા = 50 લાખ = 50,00,000
∴ ક્રિકેટની રમત પસંદ કરનાર વ્યક્તિઓ = 50,00,000ના 60 %
= 50,00,000 × 60100
= 30,00,000
= 30 લાખ … (i)

ફૂટબૉલની રમત પસંદ કરનાર વ્યક્તિઓ = 50,00,000ના 30 %
= 50,00,000 × 30100
= 15,00,000
= 15 લાખ … (ii)

અન્ય રમતો પસંદ કરનાર વ્યક્તિઓ = 50,00,000ના 10 %
= 50,00,000 × 10100
= 5,00,000
= 5 લાખ … (iii)

આમ, ક્રિકેટની રમત પસંદ કરનાર 30 લાખ, ફૂટબૉલની રમત પસંદ કરનાર 15 લાખ અને અન્ય રમતો પસંદ કરનાર વ્યક્તિઓ 5 લાખ હશે.

સ્વાધ્યાય 8.2

1. એક વ્યક્તિને તેના પગારમાં 10%નો વધારો મળ્યો. જો તેનો નવો પગાર ₹ 1,54,000 થયો હોય, તો તેનો મૂળ પગાર શોધો.
ઉત્તરઃ
વ્યક્તિના પગારમાં થયેલો વધારો = 10 %
∴ વ્યક્તિનો નવો પગાર = ₹ 1,54,000
ધારો કે આ વ્યક્તિનો મૂળ પગાર ₹ 100 છે.
10 % પગાર વધતાં હવે, તેનો નવો પગાર = ₹ (100 + 10) = ₹ 110
₹ 110 નવો પગાર હોય, તો મૂળ પગાર = ₹ 100
∴ ₹ 1,54,000 નવો પગાર હોય, તો મૂળ પગાર = ₹ (100110×154000)
= ₹ (100 × 1400)
= ₹ 1,40,000
આમ, વ્યક્તિનો મૂળ પગાર ₹ 1,40,000 હોય.

2. રવિવારે 845 લોકોએ પ્રાણીસંગ્રહાલયની મુલાકાત લીધી. સોમવારે માત્ર 169 લોકો ગયા, તો સોમવારે પ્રાણીસંગ્રહાલયની મુલાકાત લેનાર લોકોની સંખ્યામાં કેટલા ટકા ઘટાડો થયો?
ઉત્તરઃ
રવિવારે પ્રાણીસંગ્રહાલયની મુલાકાત લેનાર લોકો = 845
સોમવારે પ્રાણીસંગ્રહાલયની મુલાકાત લેનાર લોકો = 169
∴ સોમવારે મુલાકાતીઓમાં થયેલો ઘટાડો = 845 – 169 = 676

આમ, સોમવારે મુલાકાતીઓમાં થયેલો ઘટાડો 80 % છે.

૩. એક દુકાનદાર ₹ 2400માં 80 વસ્તુઓ ખરીદે છે અને તેને 16% નફા સાથે વેચે છે, તો એક વસ્તુની વેચાણકિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં દુકાનદારે ₹ 2400માં કુલ 80 વસ્તુઓ ખરીદી છે.
∴ 1 વસ્તુની ખાકિ. 240080 = ₹ 30 અને નફાની ટકાવારી 16 % છે.
∴ 1 વસ્તુ ઉપર થતો નફો = ₹ (30 × 16100)
= ₹ 4.80
1 વસ્તુની વે,કિં. = મૂકિ. + નફો
= ₹ 30 + ₹ 4.80
= ₹ 34.80
આમ, એક વસ્તુની વેચાણકિંમત 34.80 છે.

4. એક વસ્તુની કિંમત ₹ 15,500 હતી. તેના પર ₹ 450નું સમારકામ કરવામાં આવ્યું. જો તેને 15 %ના નફા સાથે વેચવામાં આવે, તો તે વસ્તુની વેચાણકિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં વસ્તુની ખરીદ કિંમત = ₹ 15,500
વસ્તુનો સમારકામનો ખર્ચ = ₹ 450
∴ વસ્તુની પડતર કિંમત = ખરીદ કિંમત + સમારકામ ખર્ચ
= ₹ (15,500 + 450) = ₹ 15,950
વસ્તુને 15 % નફા સાથે વેચવામાં આવે છે.
∴ નફો = પડતર કિંમત × નફાના ટકા
= ₹ (15950 × 15100)
= ₹(2392510)
= ₹ 2392.50
વસ્તુની વેચાણકિંમત = પડતર કિંમત + નફો
= ₹ (15,950 + 2392.50) = ₹ 18,342.50
આમ, વસ્તુની વેચાણકિંમત ₹ 18,342.50 છે.

5. એક VCR અને TV ₹ 8000નું એક એમ ખરીદવામાં આવ્યાં. દુકાનદારને VCR પર 4 %ની ખોટ ગઈ અને TV પર 8%નો નફો થયો, તો આ વ્યવહારમાં થયેલ નફો કે ખોટ ટકાવારીમાં શોધો.
ઉત્તરઃ
VCR માટે :
ખરીદ કિંમત = ₹ 8000, વેચાણમાં ખોટ = 4 %
∴ વેચાણમાં થયેલી કુલ ખોટ = ખરીદ કિંમત × ખોટના ટકા
= ₹ (8000 × 4100) = ₹ 320
∴ VCRની વેચાણકિંમત = ₹ (8000 – 320) = ₹ 7680

TV માટે :
ખરીદ કિંમત = ₹ 8000, વેચાણમાં નફો = 8%
∴ વેચાણમાં થયેલો કુલ નફો = ખરીદ કિંમત × નફાના ટકા
= (8000 × 8100) = ₹ 640
∴ ટીવીની વેચાણકિંમત = ₹ (8000 + 640) = ₹ 8640
વેપારીની કુલ ખરીદ કિંમત = ₹ (8000 + 8000) = ₹ 16,000
વેપારીની કુલ વેચાણકિંમત = ₹ (7680 + 8640) = ₹ 16,320
અહીં વેચાણકિંમત > ખરીદ કિંમત
∴ એકંદરે વેપારીને નફો થયો છે.
વેપારીને થયેલો નફો = ₹ (16,320 – 16,000) = ₹ 320
નફાની ટકાવારી = (32016000 × 100) % = 2 %
આમ, વેપારીને એકંદરે 2 % નફો થયો છે.

6. વેચાણ દરમિયાન, એક દુકાનમાં બધી વસ્તુઓમાં છાપેલ કિંમત પર 10 % વળતર મળતું હતું, તો એક ગ્રાહકને એક જોડી જીન્સ ₹ 1450 અને બે શર્ટ દરેકના ₹ 850ની છાપેલ કિંમત પર કેટલા રૂપિયા આપવા પડશે?
ઉત્તરઃ
એક જોડી જીન્સની કિંમત = ₹ 1450
એક શર્ટની કિંમત = ₹ 850
∴ બે શર્ટની કિંમત = ₹ (850 × 2) = ₹ 1700
આમ, કુલ ખરીદી = ₹ 1450 + ₹ 1700 = ₹ 3150
ગ્રાહકને 10 % વળતર મળે છે.
∴ ગ્રાહકને મળતું વળતર = ₹ (3150 × 10100) = ₹ 315
∴ ગ્રાહકે આપવાની રકમ = કુલ કિંમત – વળતર
= ₹ 3150 – ₹ 315
= ₹ 2835
આમ, ગ્રાહકે ₹ 2835 આપવા પડે.

7. દૂધવાળાએ પોતાની બે ભેંસ ₹ 20,000 લેખે વેચી. એક ભેંસ પર તેને 5 % નફો અને બીજી ભેંસ પર તેને 10 % ખોટ થઈ, તો સમગ્ર રીતે નફો કે ખોટ શોધો. (સૂચનઃ બંનેની મૂળ કિંમત શોધો.)
ઉત્તરઃ
પહેલી ભેંસ માટે :
વે.કિં. = ₹ 20,000 અને નિફો = 5 %

બીજી ભેંસ માટે :
વેકિં. = ₹ 20,000 અને ખોટ = 10 %

હવે, કુલ વેચાણકિંમત = ₹ (20,000 × 2)
= ₹ 40,000

હવે, ખરીદ કિંમત > વેચાણકિંમત
∴ એકંદરે ખોટ = ₹ (41269.84 – 40,000) = ₹ 1269.84
આમ, દૂધવાળાને એકંદરે ₹ 1269.84 ખોટ જાય.

8. એક TVની કિંમત ₹ 13,000 છે. તેના પર 12 % GST લગાડવામાં આવેલ છે. જો વિનોદને TV ખરીદવું હોય, તો તેણે કેટલી રકમ ચૂકવવી પડે?
ઉત્તરઃ
ટીવીની વેચાણકિંમત = ₹ 13,000
ટીવીના વેચાણ પર GST = 12 %
∴ ટીવીના વેચાણમાં કુલ GST = ₹ (13000 × 12100) = ₹ 1560
હવે, ટીવી ખરીદવા ચૂકવવાની રકમ = ટીવીની કિંમત + GST
= ₹ (13,000 + 1560) = ₹ 14,560
આમ, વિનોદે ટીવી ખરીદવા ₹ 14,560 ચૂકવવા પડશે.

9. અરુણે એક જોડી સ્કેટિંગ માટેના બૂટ 20 %ના વળતર પર ખરીદ્યા. જો તેણે ₹ 1600 આપ્યા હોય, તો તેની છાપેલ કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે બૂટની છાપેલી કિંમત ₹ 100 છે.
બૂટની ખરીદીમાં મળતું વળતર = 20 %
∴ બૂટની ખરીદીમાં મળતું કુલ વળતર = ₹ (100 × 20100) = ₹ 20
∴ બૂટની વેચાણકિંમત = છાપેલી કિંમત – વળતર
= ₹ (100 – 20) = ₹ 80
અહીં બૂટની વેચાણકિંમત ₹ 1600 છે.
₹ 80 વેચાણકિંમત હોય, તો છાપેલી કિંમત = ₹ 100
₹ 1600 વેચાણકિંમત હોય, તો છાપેલી કિંમત = ₹ (160080 × 100)
= ₹ 2000
આમ, બૂટની છાપેલી કિંમત ₹ 2000 હોય.

10. મેં ₹ 5400માં “હેર-ડ્રાયર” ખરીદું. જેમાં 18% GST લાગ્યો હતો. GST પહેલાંની કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે હેર-ડ્રાયરની મૂળ કિંમત ₹ 100 છે.
હેર-ડ્રાયરની ખરીદીમાં GSTની ટકાવારી = 18 %
∴ હેંરે-ડ્રાયરની ખરીદ કિંમત = મૂળ કિંમત + GST
= ₹ 100 + ₹ 18 = ₹ 118
અહીં હેર-ડ્રાયરની GST સાથેની ખરીદ કિંમત ₹ 5400 છે.
₹ 118 ખરીદ કિંમત હોય, તો મૂળ કિંમત = ₹ 100
∴ ₹ 5400 ખરીદ કિંમત હોય, તો મૂળ કિંમત = ₹ (5400118 × 100)
= ₹ 4576.27
આમ, હેર-ડ્રાયરની GST પહેલાંની કિંમત ₹ 4576.27

11. એક વસ્તુ 18 % GST સાથે ₹ 1239માં ખરીદવામાં આવે છે. વસ્તુની છાપેલી કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે વસ્તુની છાપેલી કિંમત ₹ 100 છે.
આ વસ્તુ ઉપર GST 18 % છે.
∴ વસ્તુની ખરીદ કિંમત = ₹ (100 + 18)
= ₹ 118
₹ 118 ખરીદ કિંમત હોય, તો વસ્તુની છાપેલી કિંમત = ₹ 100
∴ ₹ 1239 ખરીદ કિંમત હોય, તો વસ્તુની છાપેલી કિંમત = ₹(1239×100118)
= ₹ 1050
વસ્તુની છાપેલી કિંમત ₹ 1050

સ્વાધ્યાય 8.3

1. વ્યાજમુદ્દલ (Amount) અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી કરોઃ

(a) ₹ 10,800; 3 વર્ષ માટે; 1212% વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે.
ઉત્તરઃ
અહીં વ્યાજની ગણતરી વાર્ષિક કરવાની છે.
મુલ (P) = ₹ 10,800; વ્યાજનો દર (R) = 1212% = 252%; મુદત (T) = 3 વર્ષ,
∴ n = 3

ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ = ₹ 15,377.34
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = વ્યાજમુદ્દલ – મુદ્દલ
∴ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = ₹ 15,377.34 – ₹ 10,800
= ₹ 4577.34

(b) 18,000; 212 વર્ષ માટે 10 % વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે.
ઉત્તરઃ
અહીં વ્યાજની ગણતરી વાર્ષિક કરવાની છે.
મુદ્દલ (P) = ₹ 18,000; વ્યાજનો દર (R) = 10 %;
મુદત (T) = 212 વર્ષ
∴ n = 2 + 12

ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ = ₹ 22,869
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = વ્યાજમુદ્દલ – મુદ્દલ
∴ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = ₹ (22,869 – 18,000)
= ₹ 4869

(c) ₹ 62,500; 112 વર્ષ માટે; 8% અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે.
ઉત્તરઃ
વ્યાજની ગણતરી દર 6 માસે કરવાની છે.
અહીં મુદ્દલ (P) = ₹ 62,500; વ્યાજનો દર (R) = 82 = 4%;
મુદત (T) = 112 વર્ષ;
∴ n = 32 × 2 = 3

ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ = ₹ 70,304
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = વ્યાજમુદ્દલ – મુદ્દલ
∴ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = ₹ (70,304 – 62,500)
= ₹ 7804

(d) ₹ 8000, 1 વર્ષ માટે, 9 % અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે.
(તમે સાદા વ્યાજના સૂત્ર પ્રમાણે વર્ષદીઠ ગણતરી કરી શકો છો.)
ઉત્તરઃ
અહીં વ્યાજની ગણતરી અર્ધવાર્ષિક કરવાની છે.
મુદ્દલ (P) = 8000, મુદત (T) = 1 વર્ષ,
∴ n = 2,
વ્યાજનો દર (R) = 92%

ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ = ₹ 8736.20
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = વ્યાજમુદ્દલ – મુદ્દલ
∴ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = ₹ (8736.20 – 8000)
= ₹ 736.20

નોંધઃ સાદા વ્યાજની રીત
SI =  PRT 100
= 8000×9×12×100
= ₹ 360 ….. પહેલા 6 માસનું વ્યાજ
હવે, P = ₹ (8000 + 360)
= ₹ 8360
SI =  PRT 100
= 8360×9×12×100
= ₹ 376.20
આમ, 1 વર્ષનું કુલ વ્યાજ = ₹ (360 + 376.20)
= ₹ 736.20

(e) ₹ 10,000; 1 વર્ષ માટે, 8 % અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે.
ઉત્તરઃ
અહીં વ્યાજની ગણતરી અર્ધવાર્ષિક કરવાની છે.
મુદ્દલ (P) = ₹ 10,000; વ્યાજનો દર (R) = 82 = 4 %,
મુદત (T) = 1 વર્ષ
∴ n = 1 × 2 = 2

ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ = ₹ 10,816
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = વ્યાજમુદ્દલ – મુદ્દલ
∴ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = ₹ (10,816 – 10,000)
= ₹ 816

2. કમલાએ સ્કૂટર ખરીદવા બૅન્કમાંથી ₹ 26,400 પ્રતિ વર્ષ 15%ના દરે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે લીધા. 2 વર્ષ અને 4 મહિના પછી ઉધાર ચૂકતે કરવા માટે તેણે કેટલી રકમ ચૂકવવી પડશે?
(સૂચન: 2 વર્ષ માટે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની રીતે વ્યાજમુદ્દલ શોધો. આને ત્રીજા વર્ષનું મુદ્દલ ગણી 412 વર્ષ માટે સાદું વ્યાજ શોધો.)
ઉત્તરઃ
નોંધઃ અહીં આપણે ₹ 26,400નું 2 વર્ષનું 15% લેખે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ શોધીશું.
તે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ પર 15 % લેખે 4 માસનું સાદું વ્યાજ શોધીશું.
મુદ્દલ (P) = ₹ 26,400; વ્યાજનો દર (R) = 15 %,
મુદત (T) = 2 વર્ષ
∴ n = 2

હવે, બાકીના 4 માસનું વ્યાજ શોધવા ₹ 34,914 મુદ્દલ બનશે.
હવે, P = ₹ 34,914; વ્યાજનો દર (R) = 15 %; મુદત T = 412 વર્ષ
SI =  PRT 100
= 34914×15×4100×12
174570100
= ₹ 1745.70
આમ, કમલાએ વ્યાજસહિત ચૂકવવાની કુલ રકમ
= ₹ (34,914 + 1745.70)
= ₹ 36,659.70
આમ, કમલા વ્યાજસહિત ₹ 36,659.70 ચૂકવશે.

3. ફેબીનાએ ₹ 12500 ત્રણ વર્ષ માટે 12 %ના દરે સાદા વ્યાજે ઉધાર લીધા અને રાધાએ એ જ રકમ એ જ સમય માટે 10 %ના દરે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે ઉધાર લીધી. કોણ વધારે વ્યાજ ચૂકવશે? કેટલું?
ઉત્તરઃ
ફેબીના માટે:
ફેબીના ₹ 12,500 સાદા વ્યાજે 12 % લેખે 3 વર્ષ માટે ઉધાર લે છે.
મુદ્દલ (P) = ₹ 12,500; વ્યાજનો દર (R) = 12 %;
મુદત (T) = 3 વર્ષ
સાદું વ્યાજ = P×R×T100
= 12500×12×3100
= 125 × 12 × 3 = ₹ 4500
સાદું વ્યાજ ₹ 4500 થાય.

રાધિકા માટે:
રાધિકા ₹ 12,500 ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે 12 % લેખે 3 વર્ષ માટે ઉધાર લે છે.
મુદ્દલ (P) = ₹ 12,500; વ્યાજનો દર (R) = 10 %;
મુદત (T) = 3 વર્ષ
∴ n = 3

ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ = ₹ 16,637.50
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = વ્યાજમુદ્દલ – મુદ્દલ
∴ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = ₹ (16,637.50 – 12,500) = ₹ 4137.50
આમ, ફેબીનાએ વધુ વ્યાજ ચૂકવવું પડશે.
ફેબીનાએ ચૂકવવાનું વધુ વ્યાજ = ₹ (4500 – 4137.50) = ₹ 362.50
આમ, ફેબીનાએ ₹ 362.50 વધુ વ્યાજ ચૂકવવું પડે.

4. મેં જમશેદ પાસેથી ₹ 12,000 સાદા વ્યાજે 8%ના દરે 2 વર્ષ માટે ઉધાર લીધા. જો મેં આ જ રકમ 6 %ના દરે પ્રતિ વર્ષના ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે લીધી હોત, તો કેટલી વધારાની કિંમત ચૂકવવી પડી હોત?
ઉત્તરઃ
જમશેદના સાદા વ્યાજ માટે ગણતરીઃ
મુદ્દલ (P) = ₹ 12,000; વ્યાજનો દર (R) = 6 %;
મુદત (T) = 2 વર્ષ
સાદું વ્યાજ = P×R×T100
= 12000×6×2100
= 120 × 6 × 2 = ₹ 1440
સાદું વ્યાજ ₹ 1440 થાય.

મારી ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટે ગણતરીઃ
મુદ્દલ (P) = ₹ 12,000; વ્યાજનો દર (R) = 6 %;
મુદત (T) = 2 વર્ષ
∴ n = 2

ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ = ₹ 13,483.20
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = વ્યાજમુદ્દલ – મુદ્દલ
∴ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = ₹ (13,483.20 – 12,000) = ₹ 1483.20
∴ મારે વધુ ચૂકવવાની રકમ = ₹ (1483.20 – 1440) = ₹ 43.20

5. વાસુદેવન ₹ 60,000ને 12%ના દરે પ્રતિ વર્ષ અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે રોકે છે, તો તેને
(i) 6 મહિના પછી?
(ii) એક વર્ષ પછી કેટલી રકમ મળશે?
ઉત્તરઃ
(i) 6 માસના અંતે વ્યાજની ગણતરી :
મુદ્દલ (P) = ₹ 60,000; વ્યાજનો દર (R) = 122 = 6 %;
મુદત (T) = 6 માસ
∴ n = 1
અહીં વ્યાજ 6 માસે ગણવાનું છે.

ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ ₹ 63,600

(ii) 1 વર્ષના અંતે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી :
મુદ્દલ (P) = ₹ 60,000; વ્યાજનો દર (R) = 122 = 6 %;
મુદત (T) = 1 વર્ષ
∴ n = 2

= 60,000 × 106100×106100
= 24 × 53 × 53
= 67,416
∴ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ ₹ 67,416
આમ, વાસુદેવનને 6 માસ પછી રકમ ₹ 63,600 અને 1 વર્ષ પછી ₹ 67,416 મળશે.

6. આરીફે બૅન્કમાંથી જ 80,000ની લોન લીધી. જો વ્યાજનો દર 10% પ્રતિ વર્ષ હોય, તો 112 વર્ષ પછી ચૂકવવાની થતી રકમનો તફાવત નીચે મુજબ શોધોઃ
(i) વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ
(ii) અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ
ઉત્તરઃ
(i) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી વાર્ષિક હોય, તો :
મુદ્દલ (P) = ₹ 80,000; વ્યાજનો દર (R) = 10 %;
મુદત (T) = 112 વર્ષ
પહેલા વર્ષ માટે વ્યાજની ગણતરી :
અહીં R = 10 % અને n = 1 લેવાશે.
A = P(1+R100)n
= 80,000 (1+10100)1
= 80,000 × 110100
= 88,000
પહેલા વર્ષને અંતે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ ₹ 88,000
હવે, બાકીના 6 માસ માટે ₹ 88,000નું સાદા વ્યાજની રીતે ગણતરી થાય.
P = ₹ 88,000; R = 10 % અને T = 6 માસ = 12 વર્ષ
∴ વ્યાજ = P×R×T100
= 88000×10×1100×2
= 4400
∴ 6 માસનું વ્યાજ ₹ 4400 થાય.
આમ, વ્યાજસહિત કુલ રકમ = ₹ 88,000 + ₹ 4400
= ₹ 92,400
આમ, આરીફને વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ પ્રમાણે ₹ 92,400 ચૂકવવા પડશે.

(ii) વ્યાજની ગણતરી પહેલેથી જ દર છ માસે હોય તો :
મુદ્દલ (P) = ₹ 80,000; વ્યાજનો દર = 102 = 5%;
મુદત (T) = 112 વર્ષ
∴ n = 3

= 80,000 × 105100×105100×105100
= 80,000 × 2120×2120×2120
= 92,610
∴ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ ₹ 92,610
આમ, અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ પ્રમાણે ₹ 92,610 ચૂકવવા પડે.
આરીફને બંને પદ્ધતિમાં ચૂકવવાની રકમનો તફાવત = ₹ 92,610 – ₹ 92,400
= ₹ 210

7. મારિયાએ ₹ 8000 વ્યવસાયમાં રોક્યા. તેને 5% પ્રતિ વર્ષના દરે કેટલું ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ મળશે તે શોધોઃ
(i) બીજાના વર્ષના અંતે તેના નામે કેટલી રકમ જમા થશે?
(ii) ત્રીજા વર્ષનું વ્યાજ શોધો.
ઉત્તરઃ
(i) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી 2 વર્ષ માટે :
મુદ્દલ (P) = ₹ 8000; વ્યાજનો દર (R) = 5 %;
મુદત (T) = 2 વર્ષ
∴ n = 2

= 8000 × 105100×105100
= 8000 × 2120×2120
= 8820
આમ, બે વર્ષને અંતે મારિયાના નામે ₹ 8820 જમા થશે.

(ii) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી 3 વર્ષ માટે :
મુદ્દલ (P) = ₹ 8000, વ્યાજનો દર (R) = 5 %;
મુદત (T) = 3 વર્ષ
∴ n = 3

= 21 × 21 × 21 = 9261
∴ ત્રણ વર્ષને અંતે મારિયાના નામે ₹ 9261 જમા થશે.
∴ ત્રીજા વર્ષનું વ્યાજ = ત્રણ વર્ષનું વ્યાજમુદ્દલ – બે વર્ષનું વ્યાજમુદ્દલ
મારિયાને ત્રીજા વર્ષનું મળેલું વ્યાજ = ₹ 9261 – ₹ 8820 = ₹ 441
અથવા
ત્રીજા વર્ષને અંતે મળેલું વ્યાજ નીચેની રીતે પણ શોધી શકાય:
ત્રીજા વર્ષ માટે મુદ્દલ (P) = ₹ 8820, વ્યાજનો દર (R) = 5 %;
મુદત (T) = 1 વર્ષ
સાદું વ્યાજ = P×R×T100
= 8820×5×1100
= 8822
ત્રીજા વર્ષનું મળેલ વ્યાજ ₹ 441

8. જો ₹ 10,000ને 112 વર્ષ માટે 10 %ના દરે પ્રતિ વર્ષ અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે મૂકવામાં આવે, તો ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ અને વ્યાજમુદ્દલ શોધો. શું આ વ્યાજ તેના વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ કરતાં વધુ હશે?
ઉત્તરઃ
(i) વ્યાજની ગણતરી દર છ માસે થાય છે:
મુલ (P) = ₹ 10,000; વ્યાજનો દર (R) = 102 = 5 %;
મુદત (T) = 112 વર્ષ
∴ n = 3

ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદલ ₹ 11,576.25
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = વ્યાજમુદ્દલ – મુદ્દલ
∴ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = ₹ 11,576.25 – ₹ 10,000 = ₹ 1576.25

(ii) વ્યાજની ગણતરી વાર્ષિક કરવામાં આવે છે:
પહેલા 1 વર્ષનું ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ શોધીએ.
મુદ્દલ (P) = ₹ 10,000; વ્યાજનો દર (R) = 10 %;
મુદત (T) = 1 વર્ષ
∴ n = 1
A = P(1+R100)n
= 10,000 (1+10100)1
= 10,000 × 110100
= 11,000
1 વર્ષને અંતે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ ₹ 11,000
∴ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = ₹ (11,000 – 10,000)
= ₹ 1000
હવે બાકીના માસનું સાદું વ્યાજ ગણતાં એકંદરે 112 વર્ષનું ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ થાય.
મુલ (P) = ₹ 11,000; વ્યાજનો દર (R) = 10 %;
મુદત (T) = 12 વર્ષ
વ્યાજ = P×R×T100
= 11000×10×1100×2
= 550
હવે, 112 વર્ષનું કુલ વ્યાજ = ₹ (1000 + 550) = ₹ 1550
ઉપરના વિભાગ (i) અને વિભાગ (ii) સરખાવતાં –
₹ 1576.25 > ₹ 1550
∴ હા, અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી એ વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ કરતાં વધુ છે.

9. જો રામ ₹ 4096, 1212 % પ્રતિ વર્ષના દરે વ્યાજે આપશે, તો તેને 18 મહિનાના અંતે કુલ કેટલી રકમ મળશે? (અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ છે.)
ઉત્તરઃ
અહીં વ્યાજની ગણતરી અર્ધવાર્ષિક કરવાની છે.
મુદ્દલ (P) = ₹ 4096, વ્યાજનો દર (R) = 1212 × 12 = 254;
મુદત (T) = 18 માસ = 112 વર્ષ
∴ n = 3

= 4096 × 425400×425400×425400
= 4096 × 1716×1716×1716
= 17 × 17 × 17
= 4913
∴ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદ્દલ ₹ 4913
રામને મુદતના અંતે ₹ 4913 મળશે.
નોંધઃ પાઠ્યપુસ્તકમાં વ્યાજનો દર 12 % આપેલ છે જે ભૂલ છે. અમે તે સુધારી લીધી છે.

10. એક સ્થળની જનસંખ્યા વર્ષ 2003માં 5 % પ્રતિ વર્ષના દરે વધીને 54,000 થાય છે:
(i) 2001ની જનસંખ્યા શોધો.
(ii) 2005માં જનસંખ્યા શું હશે?
ઉત્તરઃ
(i) અહીં 2003ના વર્ષની જનસંખ્યા = 54,000; 2001 વર્ષની જનસંખ્યા શોધવી છે. જનસંખ્યા વધારાનો દર = 5 %, સમય 2 વર્ષ
∴ A = 54,000; R = 5 % અને T = 2 વર્ષ
∴ n = 2

∴ P = 48,979.59 (આશરે)
આશરે P = 48,980
આમ, વર્ષ 2001માં જનસંખ્યા આશરે 48,980 હશે.

(ii) અહીં 2003ના વર્ષની જનસંખ્યા = 54,000; વર્ષ 2005ના વર્ષની જનસંખ્યા શોધવી છે. જનસંખ્યા વધારાનો દર = 5 %, સમય 2 વર્ષ
P = 54,000; R = 5 %; T = 2 વર્ષ
∴ n = 2

આમ, વર્ષ 2005માં જનસંખ્યા 59,535 થશે.

11. એક પ્રયોગશાળામાં એક પ્રયોગમાં બૅક્ટરિયાની સંખ્યા પ્રતિ કલાકે 2.5%ના દરે વધતી હતી, જો પહેલાં બૅક્ટરિયાની સંખ્યા 5,06,000 હોય, તો બે કલાક પછી બૅક્ટરિયાની સંખ્યા કેટલી હશે?
ઉત્તરઃ
હાલમાં બૅક્ટરિયા 5,06,000 છે.
બૅક્ટરિયાનો વધારો 2.5 % દર કલાકે છે.
2 કલાક પછીના બૅક્ટરિયા શોધવા છે.
P = 5,06,000; R = 2.5 % = 52 %; T = 2 કલાક
∴ n = 2

આશરે 5,31,616
આમ, બે કલાક પછી બૅક્ટરિયાની સંખ્યા 5,31,616 (અંદાજિત) હશે.

12. એક સ્કૂટર ₹ 42,000માં ખરીદવામાં આવ્યું. તેની કિંમતમાં 8%ના દરે પ્રતિ વર્ષનો ઘટાડો આવ્યો, તો એક વર્ષના અંતે તેની કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
સ્કૂટરની કિંમત ₹ 42,000 છે.
સ્કૂટરની ઘટતી કિંમતનો દર 8% છે.
1 વર્ષ પછીની તેની કિંમત શોધવી છે.
અહીં P = ₹ 42,000; R = 8 %; T = 1
∴ n = 1 અહીં R = 8 % લેવાશે.

આમ, 1 વર્ષને અંતે સ્કૂટરની કિંમત ₹ 38,640 થશે.

JAYESH CHAUDHARI  

8000 66 46 46